Упр.36.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) {3^(3x+y)-5^(x-2y)=2, 3^(3x+y)+5^(x-2y)=52};
б) {5^(2x-y)=(1/5)^(-1)·625^(3/4)/25, x+3y=3};
в) {2^(x+y)-3^(x-y)=7, 2^(x+y)+3^(x-y)=25};
г) {2^(x-y)=0,25^(-1)·8^(2/3)/2, x+y=1}.
а)
Сложим уравнения системы:
$$\begin{aligned} 3^{3x+y}-5^{x-2y}&=2 \\ 3^{3x+y}+5^{x-2y}&=52 \end{aligned}$$
Получаем:
$$2\cdot 3^{3x+y}=54,$$
$$3^{3x+y}=27=3^3,$$
$$3x+y=3.$$Тогда $$y=3-3x.$$
Подставим во второе слагаемое первого уравнения:
$$3^{3x+y}-5^{x-2y}=2,$$
$$3^3-5^{x-2(3-3x)}=2,$$
$$27-5^{7x-6}=2,$$
$$5^{7x-6}=25=5^2,$$
$$7x-6=2,$$
$$7x=8,\quad x=\frac{8}{7}.$$
Тогда
$$y=3-3\cdot\frac{8}{7}=-\frac{3}{7}.$$Ответ: $$\left(\frac{8}{7};-\frac{3}{7}\right).$$
б)
Упростим правую часть первого уравнения:
$$\left(\frac15\right)^{-1}\cdot \frac{625^{3/4}}{25}=5\cdot \frac{(5^4)^{3/4}}{5^2}=5\cdot \frac{5^3}{5^2}=25.$$
Тогда система принимает вид:
$$\begin{aligned} 5^{2x-y}&=25,\\ x+3y&=3. \end{aligned}$$Из второго уравнения:
$$x=3-3y.$$
Подставим в первое:
$$5^{2(3-3y)-y}=25,$$
$$5^{6-7y}=5^2,$$
$$6-7y=2,$$
$$7y=4,\quad y=\frac{4}{7}.$$
Тогда
$$x=3-3\cdot\frac{4}{7}=\frac{9}{7}.$$Ответ: $$\left(\frac{9}{7};\frac{4}{7}\right).$$
в)
Сложим уравнения системы:
$$\begin{aligned} 2^{x+y}-3^{x-y}&=7,\\ 2^{x+y}+3^{x-y}&=25 \end{aligned}$$
Получаем:
$$2\cdot 2^{x+y}=32,$$
$$2^{x+y}=16=2^4,$$
$$x+y=4.$$
Тогда $$y=4-x.$$Подставим в первое уравнение:
$$2^{x+4-x}-3^{x-(4-x)}=7,$$
$$16-3^{2x-4}=7,$$
$$3^{2x-4}=9=3^2,$$
$$2x-4=2,$$
$$2x=6,\quad x=3.$$
Тогда
$$y=4-3=1.$$Ответ: $$\left(3;1\right).$$
г)
Упростим правую часть первого уравнения:
$$0{,}25^{-1}\cdot \frac{8^{2/3}}{2}=4\cdot \frac{4}{2}=8=2^3.$$
Тогда система имеет вид:
$$\begin{aligned} 2^{x-y}&=8,\\ x+y&=1. \end{aligned}$$Из второго уравнения:
$$y=1-x.$$
Подставим в первое:
$$2^{x-(1-x)}=8,$$
$$2^{2x-1}=2^3,$$
$$2x-1=3,$$
$$2x=4,\quad x=2.$$
Тогда
$$y=1-2=-1.$$Ответ: $$\left(2;-1\right).$$
