Упр.36.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) {0,5^x·0,5^(2y)=8, 2^(2x-3)·8^(-y)=32};
б) {(v3)^(x+y)·(v3)^y=v3·v27, 0,1^(x+1)·10^(3y)=100};
в) {0,3^(3x+2y)·0,3^(y-2x)=1, (1/3)^(x-y)·3^(y+1)=9};
г) {0,6^(3x+2y)·0,6^(2x-y)=0,6, 10^(x-2y)·10^(3y-1)=10}.

1. а)

   $$0{,}5^x\cdot 0{,}5^{2y}=8,$$
   $$2^{2x-3}\cdot 8^{-y}=32.$$

   Первое уравнение:
   $$0{,}5^{x+2y}=8=0{,}5^{-3},$$
   значит
   $$x+2y=-3.$$

   Второе уравнение:
   $$2^{2x-3}\cdot (2^3)^{-y}=2^5,$$
   $$2^{2x-3-3y}=2^5,$$
   откуда
   $$2x-3y=8.$$

   Решаем систему:
   $$\begin{cases} x+2y=-3,\\ 2x-3y=8. \end{cases}$$
   Из первого уравнения
   $$x=-3-2y.$$
   Подставим во второе:
   $$2(-3-2y)-3y=8,$$
   $$-6-7y=8,$$
   $$-7y=14,$$
   $$y=-2.$$
   Тогда
   $$x=-3-2(-2)=1.$$

   Ответ: $$(1;\,-2).$$

2. б)

   $$(\sqrt{3})^{x+y}\cdot (\sqrt{3})^y=\sqrt{3}\cdot \sqrt{27},$$
   $$0{,}1^{x+1}\cdot 10^{3y}=100.$$

   Первое уравнение:
   $$3^{\frac{x+y}{2}}\cdot 3^{\frac{y}{2}}=3^{\frac12}\cdot 3^{\frac32},$$
   $$3^{\frac{x+2y}{2}}=3^2,$$
   значит
   $$x+2y=4.$$

   Второе уравнение:
   $$10^{-(x+1)}\cdot 10^{3y}=10^2,$$
   $$10^{-x-1+3y}=10^2,$$
   откуда
   $$-x-1+3y=2,$$
   $$-x+3y=3.$$

   Решаем систему:
   $$\begin{cases} x+2y=4,\\ -x+3y=3. \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$5y=7,$$
   $$y=\frac75=1{,}4.$$
   Тогда
   $$x=4-2\cdot \frac75=\frac65=1{,}2.$$

   Ответ: $$(1{,}2;\,1{,}4).$$

3. в)

   $$0{,}3^{3x+2y}\cdot 0{,}3^{y-2x}=1,$$
   $$\left(\frac13\right)^{x-y}\cdot 3^{y+1}=9.$$

   Первое уравнение:
   $$0{,}3^{x+3y}=1=0{,}3^0,$$
   значит
   $$x+3y=0.$$

   Второе уравнение:
   $$3^{-(x-y)}\cdot 3^{y+1}=3^2,$$
   $$3^{-x+y+y+1}=3^2,$$
   $$3^{-x+2y+1}=3^2,$$
   откуда
   $$-x+2y=1.$$

   Решаем систему:
   $$\begin{cases} x+3y=0,\\ -x+2y=1. \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$5y=1,$$
   $$y=0{,}2.$$
   Тогда
   $$x=-3\cdot 0{,}2=-0{,}6.$$

   Ответ: $$(-0{,}6;\,0{,}2).$$

4. г)

   $$0{,}6^{3x+2y}\cdot 0{,}6^{2x-y}=0{,}6,$$
   $$10^{x-2y}\cdot 10^{3y-1}=10.$$

   Первое уравнение:
   $$0{,}6^{5x+y}=0{,}6^1,$$
   значит
   $$5x+y=1.$$

   Второе уравнение:
   $$10^{x-2y+3y-1}=10^1,$$
   $$10^{x+y-1}=10^1,$$
   откуда
   $$x+y=2.$$

   Решаем систему:
   $$\begin{cases} 5x+y=1,\\ x+y=2. \end{cases}$$
   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$4x=-1,$$
   $$x=-0{,}25.$$
   Тогда
   $$y=2-(-0{,}25)=2{,}25.$$

   Ответ: $$(-0{,}25;\,2{,}25).$$