Упр.36.34 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) Через два крана некоторую ёмкость объёмом 98 м^3 наполняют водой. При этом первые 5 ч работает только первый кран, после чего его выключают и 4 ч работает второй кран. Какова пропускная способность второго крана, если 1 м^3 он заполняет на 1 мин быстрее, чем первый?

Подробный ответ

а) Пусть первый токарь выполняет работу за $$x$$ ч, а второй — за $$y$$ ч.

Тогда по условию, если бы сначала половину работы сделал первый, а вторую половину — второй, то на это ушло бы $$75$$ ч:

$$\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=75,$$

откуда

$$x+y=150.$$

Если же они работают вместе, то за $$36$$ ч выполняют всю работу:

$$\frac{36}{x}+\frac{36}{y}=1.$$

Подставим $$y=150-x$$:

$$\frac{36}{x}+\frac{36}{150-x}=1.$$

Умножим на $$x(150-x)$$:

$$36(150-x)+36x=x(150-x),$$

$$5400=150x-x^2,$$

$$x^2-150x+5400=0.$$

$$D=150^2-4\cdot5400=900,$$

$$x_{1,2}=\frac{150\pm30}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=60,\quad x_2=90.$$

Тогда

$$y_1=150-60=90,\quad y_2=150-90=60.$$

Значит, один токарь выполняет работу за $$60$$ ч, другой — за $$90$$ ч.

б) Пусть первый кран наполняет бассейн со скоростью $$x$$ м$$^3$$/ч, а второй — со скоростью $$y$$ м$$^3$$/ч.

За первые $$5$$ ч первый кран наполнил $$5x$$ м$$^3$$, затем второй кран за $$4$$ ч наполнил $$4y$$ м$$^3$$. Всего это $$98$$ м$$^3$$:

$$5x+4y=98.$$

По условию второй кран заполняет $$1$$ м$$^3$$ на $$1$$ мин быстрее, чем первый. Значит, если первый заполняет $$1$$ м$$^3$$ за $$\frac{60}{x}$$ мин, а второй — за $$\frac{60}{y}$$ мин, то

$$\frac{60}{x}-\frac{60}{y}=1.$$

Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$y=\frac{98-5x}{4}.$$

Подставим во второе:

$$\frac{60}{x}-\frac{240}{98-5x}=1.$$

Умножим на $$x(98-5x)$$:

$$60(98-5x)-240x=x(98-5x),$$

$$5880-540x=98x-5x^2,$$

$$5x^2-638x+5880=0.$$

$$D=638^2-4\cdot5\cdot5880=289444,$$

$$x_{1,2}=\frac{638\pm538}{10}.$$

Получаем: