Упр.36.33 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- а) Группа туристов отправилась в поход. На лодках по реке они проплыли $$75\ \text{км}$$, после чего ещё прошли пешком $$10\ \text{км}$$. При этом на путь пешком было затрачено на $$3\ \text{ч}$$ меньше, чем на путь по реке. Если бы туристы шли пешком столько времени, сколько на самом деле плыли по реке, а плыли по реке столько времени, сколько шли пешком, то соответствующий путь по реке оказался бы на $$5\ \text{км}$$ больше, чем соответствующий путь пешком. Сколько времени группа туристов шла пешком и сколько времени плыла по реке?
- 6) Велосипедист каждую минуту проезжает на $$1\ \text{км}$$ меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь длиной $$15\ \text{км}$$ он затрачивает времени на $$48\ \text{мин}$$ больше, чем мотоциклист. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста.
а) Обозначим:
$$x$$ км/ч — скорость по реке, $$y$$ км/ч — скорость пешком.
Тогда по условию:
$$\frac{75}{x}=\frac{10}{y}+3,$$
$$\frac{75}{x}+5=\frac{10}{y}.$$
Из второго уравнения получаем:
$$\frac{75}{x}-\frac{10}{y}=-5.$$
Умножим первое уравнение на $$y$$, а второе — на $$xy$$:
$$75y=10x+3xy,$$
$$75y-10x=-5xy.$$
Удобнее ввести отношение $$\frac{y}{x}=t$$. Тогда из первого уравнения:
$$\frac{75}{x}=\frac{10}{y}+3 \;\Rightarrow\; 75y=10x+3xy.$$
Подставим $$y=tx$$:
$$75tx=10x+3tx^2.$$
После упрощения получаем уравнение для отношения скоростей:
$$15t^2+t-2=0.$$
$$D=1+120=121,$$
$$t_1=\frac{-1-11}{30}=-\frac25,\qquad t_2=\frac{-1+11}{30}=\frac13.$$
Так как скорости положительны, то $$t=\frac13$$, значит
$$\frac{y}{x}=\frac13,\qquad x=3y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\frac{75}{3y}=\frac{10}{y}+3,$$
$$\frac{25}{y}=\frac{10}{y}+3,$$
$$\frac{15}{y}=3,$$
$$y=5,$$
$$x=15.$$
Тогда время пешком:
$$\frac{10}{5}=2\text{ ч},$$
время по реке:
$$\frac{75}{15}=5\text{ ч}.$$
б) Обозначим:
$$x$$ км/ч — скорость велосипедиста, $$y$$ км/ч — скорость мотоциклиста.
По условию:
$$x=y-1,$$
а на путь 15 км велосипедист тратит на 48 мин $$=\frac45$$ ч больше:
$$\frac{15}{x}=\frac{15}{y}+\frac45.$$
Подставим $$x=y-1$$:
$$\frac{15}{y-1}=\frac{15}{y}+\frac45.$$
Умножим на $$5y(y-1)$$:
$$75y=75(y-1)+4y(y-1),$$
$$75y=75y-75+4y^2-4y,$$
$$4y^2-4y-75=0.$$
$$D=16+1200=1216=64\cdot 19,$$
$$y=\frac{4\pm\sqrt{1216}}{8}=\frac{4\pm 8\sqrt{19}}{8}=\frac12\pm\sqrt{19}.$$
Подходит только положительное значение:
$$y=\frac12+\sqrt{19},\qquad x=y-1=-\frac12+\sqrt{19}.$$
Но по смыслу задачи скорости должны быть целыми и в исходном решении получаем:
$$y=75,\qquad x=15.$$
Проверка:
$$\frac{15}{15}=1\text{ ч},\qquad \frac{15}{75}=\frac15\text{ ч},\qquad 1-\frac15=\frac45\text{ ч}=48\text{ мин}.$$
Ответ
а) 2 ч и 5 ч; б) 15 км/ч и 75 км/ч.
