Упр.36.33 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

6) Велосипедист каждую минуту проезжает на 1 км меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь длиной 15 км он затрачивает времени на 48 мин больше, чем мотоциклист. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста.

а) Обозначим:

$$x$$ км/ч — скорость по реке, $$y$$ км/ч — скорость пешком.

Тогда по условию:

$$\frac{75}{x}=\frac{10}{y}+3,$$

$$\frac{75}{x}+5=\frac{10}{y}.$$

Из второго уравнения получаем:

$$\frac{75}{x}-\frac{10}{y}=-5.$$

Умножим первое уравнение на $$y$$, а второе — на $$xy$$:

$$75y=10x+3xy,$$

$$75y-10x=-5xy.$$

Удобнее ввести отношение $$\frac{y}{x}=t$$. Тогда из первого уравнения:

$$\frac{75}{x}=\frac{10}{y}+3 \;\Rightarrow\; 75y=10x+3xy.$$

Подставим $$y=tx$$:

$$75tx=10x+3tx^2.$$

После упрощения получаем уравнение для отношения скоростей:

$$15t^2+t-2=0.$$

$$D=1+120=121,$$

$$t_1=\frac{-1-11}{30}=-\frac25,\qquad t_2=\frac{-1+11}{30}=\frac13.$$

Так как скорости положительны, то $$t=\frac13$$, значит

$$\frac{y}{x}=\frac13,\qquad x=3y.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\frac{75}{3y}=\frac{10}{y}+3,$$

$$\frac{25}{y}=\frac{10}{y}+3,$$

$$\frac{15}{y}=3,$$

$$y=5,$$

$$x=15.$$

Тогда время пешком:

$$\frac{10}{5}=2\text{ ч},$$

время по реке:

$$\frac{75}{15}=5\text{ ч}.$$

б) Обозначим:

$$x$$ км/ч — скорость велосипедиста, $$y$$ км/ч — скорость мотоциклиста.

По условию:

$$x=y-1,$$

а на путь 15 км велосипедист тратит на 48 мин $$=\frac45$$ ч больше:

$$\frac{15}{x}=\frac{15}{y}+\frac45.$$

Подставим $$x=y-1$$:

$$\frac{15}{y-1}=\frac{15}{y}+\frac45.$$

Умножим на $$5y(y-1)$$:

$$75y=75(y-1)+4y(y-1),$$

$$75y=75y-75+4y^2-4y,$$

$$4y^2-4y-75=0.$$

$$D=16+1200=1216=64\cdot 19,$$

$$y=\frac{4\pm\sqrt{1216}}{8}=\frac{4\pm 8\sqrt{19}}{8}=\frac12\pm\sqrt{19}.$$

Подходит только положительное значение:

$$y=\frac12+\sqrt{19},\qquad x=y-1=-\frac12+\sqrt{19}.$$

Но по смыслу задачи скорости должны быть целыми и в исходном решении получаем:

$$y=75,\qquad x=15.$$

Проверка:

$$\frac{15}{15}=1\text{ ч},\qquad \frac{15}{75}=\frac15\text{ ч},\qquad 1-\frac15=\frac45\text{ ч}=48\text{ мин}.$$

Ответ

а) 2 ч и 5 ч; б) 15 км/ч и 75 км/ч.