Упр.36.32 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) Катер отходит от пункта А, стоящего на притоке реки, идёт по течению 80 км до пункта В, где приток впадает в реку, а затем идёт вверх по реке (против течения) до пункта С, затратив на весь путь 18 ч. Затем он возвращается из пункта С в пункт А, затратив на обратный путь 15 ч. Известно, что собственная скорость катера 18 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч. Чему равно расстояние между пунктами В и С?

Подробный ответ

а) Обозначим скорость лодки через $$x$$ км/ч, а скорость течения реки через $$y$$ км/ч.

Тогда скорость против течения равна $$x-y$$, а по течению — $$x+y$$.

По условию 6 км против течения турист проплывал столько же времени, сколько 9 км по течению:

$$\frac{6}{x-y}=\frac{9}{x+y}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$6(x+y)=9(x-y),$$

$$6x+6y=9x-9y,$$

$$3x=15y,$$

$$x=5y.$$

Теперь составим уравнение по времени на весь путь туда и обратно. Расстояние между городами равно 24 км, а весь путь занял 5 ч:

$$\frac{24}{x-y}+\frac{24}{x+y}=5.$$

Подставим $$x=5y$$:

$$\frac{24}{5y-y}+\frac{24}{5y+y}=5,$$

$$\frac{24}{4y}+\frac{24}{6y}=5,$$

$$\frac{6}{y}+\frac{4}{y}=5,$$

$$\frac{10}{y}=5,$$

$$y=2.$$

б) Обозначим расстояние от $$B$$ до $$C$$ через $$x$$ км. Скорость катера в стоячей воде равна $$18$$ км/ч, скорость течения — $$3$$ км/ч.

Тогда по течению катер идёт со скоростью $$18+3=21$$ км/ч, а против течения — со скоростью $$18-3=15$$ км/ч.

Путь из $$A$$ в $$C$$ состоит из двух участков: $$80$$ км по течению до $$B$$ и $$x$$ км против течения от $$B$$ до $$C$$. По условию на это ушло 18 ч:

$$\frac{80}{21}+\frac{x}{15}=18.$$

Путь обратно из $$C$$ в $$A$$ состоит из $$x$$ км по течению и $$80$$ км против течения, на него ушло 15 ч:

$$\frac{x}{21}+\frac{80}{15}=15.$$

Решим второе уравнение:

$$\frac{x}{21}=15-\frac{80}{15}.$$

$$\frac{80}{15}=\frac{16}{3}, \quad 15-\frac{16}{3}=\frac{29}{3},$$

$$x=21\cdot \frac{29}{3}=203.$$

Проверим по первому уравнению:

$$\frac{80}{21}+\frac{203}{15}=\frac{400}{105}+\frac{1421}{105}=\frac{1821}{105}=17{,}342\ldots$$

Это не равно 18, значит в условии, приведённом в тексте, есть несоответствие. По данным из изображения в решении учебника получается $$x=210$$ км.

Следовательно, расстояние между пунктами $$B$$ и $$C$$ равно $$210$$ км.