Упр.36.31 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
б) Шифр замка выражается трёхзпачным числом. Сумма его цифр равна 12, а сумма квадратов его цифр равна 56. Если к задуманному числу прибавить 168, то в результате цифра сотен увеличится в 2 раза, а цифры десятков и единиц — уменьшатся каждая в 2 раза. Найдите шифр замка.
а) Пусть цифры задуманного трёхзначного числа — $$x,\ y,\ z$$. Тогда
$$x+y+z=10,$$
$$x^2+y^2+z^2=38.$$
По условию, если к числу $$100x+10y+z$$ прибавить $$297$$, получится число с теми же цифрами в обратном порядке:
$$100x+10y+z+297=100z+10y+x.$$
Отсюда
$$99x+297=99z,$$
$$z=x+3.$$
Тогда из первого уравнения
$$x+y+x+3=10,$$
$$y=7-2x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2+(7-2x)^2+(x+3)^2=38,$$
$$x^2+49-28x+4x^2+x^2+6x+9=38,$$
$$6x^2-22x+20=0,$$
$$3x^2-11x+10=0.$$
$$D=11^2-4\cdot 3\cdot 10=121-120=1,$$
$$x=\frac{11\pm 1}{6}.$$
Получаем $$x=2$$ или $$x=\frac{5}{3}$$. Так как $$x$$ — цифра, то $$x=2$$.
Тогда
$$y=7-2\cdot 2=3,\qquad z=2+3=5.$$
Задуманное число: $$235$$.
б) Пусть цифры шифра — $$x,\ y,\ z$$. Тогда
$$x+y+z=12,$$
$$x^2+y^2+z^2=56.$$
По условию, если к числу $$100x+10y+z$$ прибавить $$168$$, то цифра сотен удвоится, а цифры десятков и единиц уменьшатся в 2 раза:
$$100x+10y+z+168=200x+5y+\frac{z}{2}.$$
Преобразуем это уравнение:
$$100x=5y+\frac{z}{2}+168.$$
Из первого уравнения
$$y=12-x-z.$$
Подставим:
$$100x=5(12-x-z)+\frac{z}{2}+168,$$
$$100x=60-5x-5z+\frac{z}{2}+168,$$
$$105x=228-\frac{9z}{2},$$
$$210x=456-9z,$$
$$z=\frac{152-70x}{3}.$$
Тогда
$$y=12-x-\frac{152-70x}{3}=\frac{67x-116}{3}.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2+\left(\frac{67x-116}{3}\right)^2+\left(\frac{152-70x}{3}\right)^2=56.$$
После преобразований получаем:
$$4699x^2-18412x+18028=0.$$
$$D=18412^2-4\cdot 4699\cdot 18028=147456,$$
$$x=\frac{18412\pm 384}{2\cdot 4699}.$$
Отсюда $$x=2$$ или $$x=\frac{9014}{4699}$$. Так как $$x$$ — цифра, то $$x=2$$.
Тогда
$$z=\frac{152-70\cdot 2}{3}=4,\qquad y=\frac{67\cdot 2-116}{3}=6.$$
Шифр замка: $$264$$.
Ответ
а) $$235$$; б) $$264$$.
