Упр.36.30 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\frac{|\operatorname{ctg}(xy)|}{\cos^2(xy)}=\log_{\frac{1}{3}}\left(y^2-2y+\frac{10}{9}\right);$$
   б) $$\frac{3+2\cos(x-y)}{2}=\sqrt{3+2x-x^2}\cdot\cos^2\left(\frac{x-y}{2}\right)+\frac{\sin^2(x-y)}{2}.$$

а) Рассмотрим уравнение

$$\frac{|\ctg(xy)|}{\cos^2(xy)}=\log_{\frac13}\!\left(y^2-2y+\frac{10}{9}\right).$$

Преобразуем правую часть:

$$y^2-2y+\frac{10}{9}=(y-1)^2+\frac19 \ge \frac19,$$

значит

$$\log_{\frac13}\!\left(y^2-2y+\frac{10}{9}\right)\le \log_{\frac13}\!\frac19=2.$$

Теперь левую часть:

$$\frac{|\ctg(xy)|}{\cos^2(xy)}=|\ctg(xy)|\,(1+\tg^2(xy))=|\ctg(xy)|+|\tg(xy)|\ge 2,$$

так как для любого $$t\ne 0$$ верно $$|t|+\frac1{|t|}\ge 2$$.

Следовательно, обе части уравнения должны быть равны $$2$$.

Для правой части это возможно только при

$$y^2-2y+\frac{10}{9}=\frac19,$$

откуда

$$y^2-2y+1=0,\qquad (y-1)^2=0,\qquad y=1.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\frac{|\ctg x|}{\cos^2 x}=2,$$

или

$$|\ctg x|+|\tg x|=2.$$

Пусть $$z=|\tg x|>0$$. Тогда

$$z+\frac1z=2,$$

$$z^2-2z+1=0,$$

$$z=1.$$

Значит,

$$|\tg x|=1,\qquad \tg x=\pm 1,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\,1\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\frac{3+\cos(x-y)}{2}=\sqrt{3+2x-x^2}\cdot \cos^2\frac{x-y}{2}+\frac{\sin^2(x-y)}{2}.$$

Преобразуем правую часть. Обозначим $$t=x-y$$. Тогда

$$\cos^2\frac{t}{2}=\frac{1+\cos t}{2},\qquad \sin^2 t=1-\cos^2 t.$$

Пусть $$z=\cos t$$. Тогда правая часть равна

$$\sqrt{3+2x-x^2}\cdot \frac{1+z}{2}+\frac{1-z^2}{2}.$$

Так как

$$3+2x-x^2=4-(x-1)^2\le 4,$$

то

$$\sqrt{3+2x-x^2}\le 2.$$

Кроме того,

$$-1\le z\le 1,$$

следовательно

$$\frac{1+z}{2}\le 1,\qquad \frac{1-z^2}{2}\le \frac12.$$

Левая часть:

$$\frac{3+\cos(x-y)}{2}=\frac{3+z}{2}.$$

Чтобы равенство выполнялось, необходимо, чтобы обе части достигали своих максимальных значений. Это возможно при

$$x=1,\qquad \cos(x-y)=1.$$

Тогда

$$x-y=2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

и

$$y=1-2\pi n=1+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Значит, решение можно записать так:

$$x=1,\qquad y=1+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\,1\right),\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$\left(1;\,1+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$