Упр.36.30 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) |ctg(xy)| / cos^2(xy) = log(1/3; y^2 — 2y + 10/9);
б) (3 + 2cos(x — y)) / 2 = v(3 + 2x — x^2) · cos^2((x — y) / 2) + sin^2(x — y) / 2.
а) Рассмотрим уравнение
$$\frac{|\ctg(xy)|}{\cos^2(xy)}=\log_{\frac13}\!\left(y^2-2y+\frac{10}{9}\right).$$
Преобразуем правую часть:
$$y^2-2y+\frac{10}{9}=(y-1)^2+\frac19 \ge \frac19,$$
значит
$$\log_{\frac13}\!\left(y^2-2y+\frac{10}{9}\right)\le \log_{\frac13}\!\frac19=2.$$
Теперь левую часть:
$$\frac{|\ctg(xy)|}{\cos^2(xy)}=|\ctg(xy)|\,(1+\tg^2(xy))=|\ctg(xy)|+|\tg(xy)|\ge 2,$$
так как для любого $t\ne 0$ верно $|t|+\frac1{|t|}\ge 2$.
Следовательно, обе части уравнения должны быть равны $2$.
Для правой части это возможно только при
$$y^2-2y+\frac{10}{9}=\frac19,$$
откуда
$$y^2-2y+1=0,\qquad (y-1)^2=0,\qquad y=1.$$
Тогда уравнение принимает вид
$$\frac{|\ctg x|}{\cos^2 x}=2,$$
или
$$|\ctg x|+|\tg x|=2.$$
Пусть $z=|\tg x|>0$. Тогда
$$z+\frac1z=2,$$
$$z^2-2z+1=0,$$
$$z=1.$$
Значит,
$$|\tg x|=1,\qquad \tg x=\pm 1,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$
Итак,
$$\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\,1\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$
б) Рассмотрим уравнение
$$\frac{3+\cos(x-y)}{2}=\sqrt{3+2x-x^2}\cdot \cos^2\frac{x-y}{2}+\frac{\sin^2(x-y)}{2}.$$
Преобразуем правую часть. Обозначим $t=x-y$. Тогда
$$\cos^2\frac{t}{2}=\frac{1+\cos t}{2},\qquad \sin^2 t=1-\cos^2 t.$$
Пусть $z=\cos t$. Тогда правая часть равна
$$\sqrt{3+2x-x^2}\cdot \frac{1+z}{2}+\frac{1-z^2}{2}.$$
Так как
$$3+2x-x^2=4-(x-1)^2\le 4,$$
то
$$\sqrt{3+2x-x^2}\le 2.$$
Кроме того,
$$-1\le z\le 1,$$
следовательно
$$\frac{1+z}{2}\le 1,\qquad \frac{1-z^2}{2}\le \frac12.$$
Левая часть:
$$\frac{3+\cos(x-y)}{2}=\frac{3+z}{2}.$$
Чтобы равенство выполнялось, необходимо, чтобы обе части достигали своих максимальных значений. Это возможно при
$$x=1,\qquad \cos(x-y)=1.$$
Тогда
$$x-y=2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$
и
$$y=1-2\pi n=1+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$
Значит, решение можно записать так:
$$x=1,\qquad y=1+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\,1\right),\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$\left(1;\,1+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$
