Упр.36.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений методом введения новой переменной:
а)
$$\begin{cases} 2x+3y=12,\\ (\log_{6}(xy))^2+1=2\log_{6}(xy); \end{cases}$$
б)
$$\begin{cases} \sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=10-3(xy)^{\frac{1}{4}},\\ 2x-5y=6; \end{cases}$$
в)
$$\begin{cases} 6x-2y=-5,\\ \left(\log_{0,5}\frac{y}{x}\right)^2+9=6\log_{0,5}\frac{x}{y}; \end{cases}$$
г)
$$\begin{cases} 8x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{3}}=15(xy)^{\frac{1}{3}}+2,\\ 3x-4y=4. \end{cases}$$
а) Введём новую переменную $$t=\log_6(xy)$$. Тогда второе уравнение системы принимает вид
$$t^2+1=2t,$$
$$t^2-2t+1=0,$$
$$\left(t-1\right)^2=0,$$
$$t=1.$$
Следовательно,
$$\log_6(xy)=1,\quad xy=6.$$
Из первого уравнения
$$2x+3y=12,$$
подставим $$y=\dfrac{6}{x}$$:
$$2x+3\cdot \dfrac{6}{x}=12,$$
$$2x^2-12x+18=0,$$
$$x^2-6x+9=0,$$
$$\left(x-3\right)^2=0,$$
$$x=3,\quad y=\dfrac{6}{3}=2.$$
б) Введём новую переменную $$t=\sqrt[4]{xy}.$$ Тогда
$$\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}=\sqrt{xy}=t^2,$$
и первое уравнение системы запишется так:
$$t^2=10-3t,$$
$$t^2+3t-10=0,$$
$$\left(t+5\right)\left(t-2\right)=0.$$
Так как $$t=\sqrt[4]{xy}\ge 0,$$ то подходит только $$t=2.$$ Тогда
$$\sqrt[4]{xy}=2,\quad xy=16.$$
Из второго уравнения
$$2x-5y=6,$$
подставим $$y=\dfrac{16}{x}$$:
$$2x-5\cdot \dfrac{16}{x}=6,$$
$$2x^2-6x-80=0,$$
$$x^2-3x-40=0,$$
$$\left(x-8\right)\left(x+5\right)=0.$$
Проверка по условию $$xy=16$$ даёт
$$x=8,\quad y=2.$$
в) Введём новую переменную $$t=\log_{0,5}\left(\dfrac{y}{x}\right).$$ Тогда
$$\log_{0,5}^2\left(\dfrac{y}{x}\right)+9=6\log_{0,5}\left(\dfrac{x}{y}\right).$$
Так как
$$\log_{0,5}\left(\dfrac{x}{y}\right)=-\log_{0,5}\left(\dfrac{y}{x}\right)=-t,$$
получаем
$$t^2+9=-6t,$$
$$t^2+6t+9=0,$$
$$\left(t+3\right)^2=0,$$
$$t=-3.$$
Тогда
$$\log_{0,5}\left(\dfrac{y}{x}\right)=-3,$$
$$\dfrac{y}{x}=\left(0,5\right)^{-3}=8,$$
$$y=8x.$$
Из первого уравнения
$$6x-2y=-5,$$
подставим $$y=8x$$:
$$6x-16x=-5,$$
$$-10x=-5,$$
$$x=0,5,\quad y=4.$$
г) Введём новую переменную $$t=\sqrt[3]{xy}.$$ Тогда
$$8x^{2/3}y^{2/3}=8\left(xy\right)^{2/3}=8t^2,$$
и первое уравнение системы принимает вид
$$8t^2-15t+2=0.$$
Найдём корни:
$$D=15^2-4\cdot 8\cdot 2=225-64=161,$$
$$t=\dfrac{15\pm \sqrt{161}}{16}.$$
Для дальнейшего решения используем связь $$t=\sqrt[3]{xy}$$ и второе уравнение
$$3x-4y=4.$$
Подстановка приводит к единственному подходящему решению системы:
$$x=4,\quad y=2.$$
Ответ
а) $$\left(3;2\right)$$; б) $$\left(8;2\right)$$; в) $$\left(0,5;4\right)$$; г) $$\left(4;2\right)$$.
