Упр.36.29 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$x^2 — 6x + y — 4vy + 13 = 0$$;
   б) $$\sin^4(x) + \cos^4(y) + 2 = 4\sin(x)\cos(y)$$.

а) Преобразуем уравнение, выделив полные квадраты:

$$x^2-6x+y-4\sqrt{y}+13=0$$

$$x^2-6x+9+y-4\sqrt{y}+4=0$$

$$\left(x-3\right)^2+\left(\sqrt{y}-2\right)^2=0$$

Сумма двух квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

$$x-3=0,\qquad \sqrt{y}-2=0$$

$$x=3,\qquad y=4$$

б) Перенесём всё в одну сторону и преобразуем выражение:

$$\sin^4 x+\cos^4 y+2=4\sin x\cos y$$

$$\left(\sin^2 x-1\right)^2+2\sin^2 x+\left(\cos^2 y-1\right)^2+2\cos^2 y-4\sin x\cos y=0$$

$$\left(\sin^2 x-1\right)^2+\left(\cos^2 y-1\right)^2+2\left(\sin^2 x-2\sin x\cos y+\cos^2 y\right)=0$$

$$\left(\sin^2 x-1\right)^2+\left(\cos^2 y-1\right)^2+2\left(\sin x-\cos y\right)^2=0$$

Сумма квадратов равна нулю, значит,

$$\sin^2 x=1,\qquad \cos^2 y=1,\qquad \sin x=\cos y$$

Отсюда возможны два случая:

$$\sin x=1,\qquad \cos y=1$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad y=2\pi k,\qquad n,k\in\mathbb{Z}$$

или

$$\sin x=-1,\qquad \cos y=-1$$

Тогда

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad y=\pi+2\pi k,\qquad n,k\in\mathbb{Z}$$

Ответ

а) $$\left(3;\,4\right)$$

б) $$\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,2\pi k\right),\ \left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\pi+2\pi k\right),\quad n,k\in\mathbb{Z}$$