Упр.36.28 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}\sqrt{1+\sin(x)\sin(y)}=\cos(x),\\2\sin(x)\operatorname{ctg}(y)+1=0;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}\sqrt{1+\sin(x)\sin(y)}=\cos(y),\\\frac{4\sin(y)}{\operatorname{tg}(x)}+\sqrt{12}=0.\end{cases}$$
а) Из первого уравнения:
$$\sqrt{1+\sin x \sin y}=\cos x$$
Возведём в квадрат:
$$1+\sin x \sin y=\cos^2 x$$
Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$, получаем:
$$1+\sin x \sin y=1-\sin^2 x$$
$$\sin^2 x+\sin x \sin y=0$$
$$\sin x(\sin x+\sin y)=0$$
Отсюда либо $$\sin x=0$$, либо $$\sin x=-\sin y$$.
Из второго уравнения:
$$2\sin x\ctg y+1=0$$
$$2\sin x\cdot \frac{\cos y}{\sin y}+1=0$$
$$2\cos y=-1$$
$$\cos y=\frac12$$
Тогда
$$y=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
При $$y=-\frac{\pi}{3}+2\pi k$$ имеем $$\sin y=-\frac{\sqrt3}{2}$$, значит $$\sin x=\frac{\sqrt3}{2}$$, откуда
$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
При $$y=\frac{\pi}{3}+2\pi k$$ имеем $$\sin y=\frac{\sqrt3}{2}$$, значит $$\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}$$, откуда
$$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
б) Из первого уравнения:
$$\sqrt{1+\sin x \sin y}=\cos y$$
Возведём в квадрат:
$$1+\sin x \sin y=\cos^2 y$$
Так как $$\cos^2 y=1-\sin^2 y$$, получаем:
$$\sin^2 y+\sin x \sin y=0$$
$$\sin y(\sin y+\sin x)=0$$
Отсюда либо $$\sin y=0$$, либо $$\sin y=-\sin x$$.
Из второго уравнения:
$$\frac{4\sin y}{\tg x}+\sqrt{12}=0$$
$$4\sin y\cdot \frac{\cos x}{\sin x}+\sqrt{12}=0$$
$$4\cos x=-\sqrt{12}$$
$$\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}$$
Тогда
$$x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Соответственно:
при $$x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$ имеем $$\sin x=\frac12$$, значит $$\sin y=-\frac12$$, откуда
$$y=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
при $$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$ имеем $$\sin x=\frac12$$, значит $$\sin y=-\frac12$$, откуда
$$y=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
Ответ
а) $$\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ \frac{\pi}{3}+2\pi k\right),\ \left(\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ -\frac{\pi}{3}+2\pi k\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$
б) $$\left(-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\ -\frac{\pi}{6}+2\pi k\right),\ \left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\ -\frac{\pi}{6}+2\pi k\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$
