Упр.36.27 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}0{,}5\sin(1-y+x^2)\cos(2x)=\cos(y-x^2-1)\sin(x)\cos(x),\\ \log_{2^x}\left(\dfrac{2^{2x+y}}{2^{1+x^2}}\right)=2-x;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}3^y=x,\\ 2\sin(x)+\sin(2x)=2\left(\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2.\end{cases}$$

Подробный ответ

а) Рассмотрим первое уравнение:
$$0{,}5\sin(1-y+x^2)\cos(2x)=\cos(y-x^2-1)\sin x\cos x.$$
Заметим, что
$$1-y+x^2=-(y-x^2-1),$$
поэтому
$$\sin(1-y+x^2)=-\sin(y-x^2-1).$$
Тогда уравнение можно переписать так:
$$-\frac12\sin(y-x^2-1)\cos(2x)=\cos(y-x^2-1)\sin x\cos x.$$
Используем формулу $$\sin x\cos x=\frac12\sin 2x$$ и получаем
$$-\sin(y-x^2-1)\cos(2x)=\cos(y-x^2-1)\sin 2x.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\sin(y-x^2-1)\cos(2x)+\cos(y-x^2-1)\sin 2x=0.$$
По формуле суммы синусов:
$$\sin\bigl((y-x^2-1)+2x\bigr)=0,$$
то есть
$$y-x^2-1+2x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Следовательно,
$$y=x^2-2x+1+\pi k=(x-1)^2+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Теперь второе уравнение:
$$\log_{2^x}\frac{2^{2x+y}}{2^{1+x^2}}=2-x.$$
Основание логарифма:
$$2^x>0,\quad 2^x\ne 1 \Rightarrow x\ne 0.$$
Аргумент логарифма:
$$\frac{2^{2x+y}}{2^{1+x^2}}=2^{2x+y-1-x^2}.$$
Тогда
$$\log_{2^x}2^{2x+y-1-x^2}=2-x.$$
Переходим к показательной форме:
$$2^{2x+y-1-x^2}=(2^x)^{2-x}=2^{x(2-x)}.$$
Приравниваем показатели:
$$2x+y-1-x^2=2x-x^2,$$
откуда
$$y=1.$$
Подставляем в выражение, найденное из первого уравнения:
$$1=(x-1)^2+\pi k.$$
Так как левая часть не зависит от $$\pi$$, при целых $$k$$ получаем единственно возможное значение
$$k=0,$$
и тогда
$$1=(x-1)^2.$$
Следовательно,
$$x-1=\pm 1,$$
то есть
$$x=0 \text{ или } x=2.$$
Но $$x=0$$ не подходит, так как основание логарифма равно $$1$$. Значит,
$$x=2,\quad y=1.$$
б) Из первого уравнения системы:
$$3^y=x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$2\sin x+\sin 2x=2\cos^2\frac{x}{2}.$$
Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
$$2\sin x+2\sin x\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}.$$
Вынесем общий множитель:
$$2\sin x(1+\cos x)=2\cos^2\frac{x}{2}.$$
Так как $$1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2},$$ получаем
$$4\sin x\cos^2\frac{x}{2}=2\cos^2\frac{x}{2}.$$
Перенесём в одну сторону и вынесем общий множитель:
$$2\cos^2\frac{x}{2}(2\sin x-1)=0.$$
Отсюда либо
$$\cos\frac{x}{2}=0,$$
либо
$$2\sin x-1=0.$$
1) Если $$\cos\frac{x}{2}=0,$$ то
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$y=\log_3 x=\log_3(\pi+2\pi n),$$
но это возможно только при $$\pi+2\pi n>0.$$
2) Если $$2\sin x-1=0,$$ то
$$\sin x=\frac12,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$y=\log_3 x.$$
Итак, решения системы задаются парами
$$\left(\log_3 x,\;x\right),$$
где $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$$ или $$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$, а также $$x=\pi+2\pi n$$ при $$x>0.$$