Упр.36.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) {x + y = 4; x — z = 5; xy + xz + yz = -5};
б) {xy + xz = 4; yz + xy = -1; zx + zy = 9}.

а) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} x+y=4,\\ x-z=5,\\ xy+xz+yz=-5. \end{cases} $$

Из первых двух уравнений выразим $y$ и $x$:

$$ y=4-x,\qquad x=z+5. $$

Тогда

$$ y=4-(z+5)=-z-1. $$

Подставим в третье уравнение:

$$ (z+5)(-z-1)+(z+5)z+(-z-1)z=-5. $$

Раскроем скобки:

$$ -z^2-6z-5+z^2+5z-z^2-z=-5, $$

$$ -z^2-2z-5=-5, $$

$$ -z^2-2z=0, $$

$$ z(z+2)=0. $$

Отсюда:

$$ z=0 \quad \text{или} \quad z=-2. $$

Если $$z=0,$$ то

$$ x=5,\qquad y=-1. $$

Если $$z=-2,$$ то

$$ x=3,\qquad y=1. $$

б) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} xy+xz=4,\\ yz+xy=-1,\\ zx+zy=9. \end{cases} $$

Сложим все три уравнения:

$$ 2xy+2xz+2yz=12, $$

откуда

$$ xy+xz+yz=6. $$

Теперь вычтем из этого равенства первое, второе и третье уравнения соответственно:

$$ (xy+xz+yz)-(xy+xz)=2 \Rightarrow yz=2, $$

$$ (xy+xz+yz)-(xy+yz)=7 \Rightarrow xz=7, $$

$$ (xy+xz+yz)-(xz+yz)=-3 \Rightarrow xy=-3. $$

Тогда

$$ (xy)(xz)(yz)=(-3)\cdot 7 \cdot 2=-42. $$

Но

$$ (xy)(xz)(yz)=(xyz)^2 \ge 0, $$

что невозможно. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ

а) $$(3;\,1;\,-2),\ (5;\,-1;\,0).$$

б) решений нет.