Упр.36.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите систему трёх уравнений с тремя переменными:
   а) $$\begin{cases} x+y=4, \\ x-z=5, \\ xy+xz+yz=-5; \end{cases}$$
   б) $$\begin{cases} xy+xz=4, \\ yz+xy=-1, \\ zx+zy=9. \end{cases}$$

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x+y=4,\\ x-z=5,\\ xy+xz+yz=-5. \end{cases}$$

Из первых двух уравнений выразим $$y$$ и $$x$$:

$$y=4-x,\qquad x=z+5.$$

Тогда

$$y=4-(z+5)=-z-1.$$

Подставим в третье уравнение:

$$(z+5)(-z-1)+(z+5)z+(-z-1)z=-5.$$

Раскроем скобки:

$$-z^2-6z-5+z^2+5z-z^2-z=-5,$$

$$-z^2-2z-5=-5,$$

$$-z^2-2z=0,$$

$$z(z+2)=0.$$

Отсюда:

$$z=0 \quad \text{или} \quad z=-2.$$

Если $$z=0,$$ то

$$x=5,\qquad y=-1.$$

Если $$z=-2,$$ то

$$x=3,\qquad y=1.$$

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} xy+xz=4,\\ yz+xy=-1,\\ zx+zy=9. \end{cases}$$

Сложим все три уравнения:

$$2xy+2xz+2yz=12,$$

откуда

$$xy+xz+yz=6.$$

Теперь вычтем из этого равенства первое, второе и третье уравнения соответственно:

$$(xy+xz+yz)-(xy+xz)=2 \Rightarrow yz=2,$$

$$(xy+xz+yz)-(xy+yz)=7 \Rightarrow xz=7,$$

$$(xy+xz+yz)-(xz+yz)=-3 \Rightarrow xy=-3.$$

Тогда

$$(xy)(xz)(yz)=(-3)\cdot 7 \cdot 2=-42.$$

Но

$$(xy)(xz)(yz)=(xyz)^2 \ge 0,$$

что невозможно. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ

а) $$(3;\,1;\,-2),\ (5;\,-1;\,0).$$

б) решений нет.