Упр.36.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) {x + y + z = 1; x — 2y — z = 1; x^2 + y^2 + z^2 = 13};
б) {x + y + z = 2; 2x + 3y + z = 1; x^2 + (y+z)^2 + (z-1)^2 = 9}.

а) Из первого и второго уравнений найдём сумму и разность:

$$ \begin{aligned} (x+y+z)-(x-2y-z)&=1-1,\\ 3y+2z&=0; \end{aligned} $$
$$ 2(x+y+z)+(x-2y-z)=2\cdot 1+1, $$
$$ 3x+y+z=3. $$

Удобнее выразить $z$ и $x$ через $y$:

$$ 3y+2z=0 \Rightarrow z=-\frac{3}{2}y, $$
$$ x+y+z=1 \Rightarrow x=1-y-z=1-\;y+\frac{3}{2}y=1+\frac{y}{2}. $$

Подставим в третье уравнение:

$$ \left(1+\frac{y}{2}\right)^2+y^2+\left(-\frac{3}{2}y\right)^2=13. $$

$$ 1+y+\frac{y^2}{4}+y^2+\frac{9y^2}{4}=13, $$
$$ 1+y+\frac{7}{2}y^2=13, $$
$$ 7y^2+2y-24=0. $$

$$ D=2^2-4\cdot 7\cdot(-24)=676,\quad \sqrt D=26. $$

$$ y=\frac{-2\pm 26}{14}, $$
$$ y_1=-2,\quad y_2=\frac{12}{7}. $$

Тогда:

$$ y=-2 \Rightarrow z=3,\ x=0; $$
$$ y=\frac{12}{7} \Rightarrow z=-\frac{18}{7},\ x=\frac{13}{7}. $$

б) Из первого и второго уравнений вычтем первое из второго:

$$ (2x+3y+z)-(x+y+z)=1-2, $$
$$ x+2y=-1, $$
$$ y=-\frac{x+1}{2}. $$

Из первого уравнения:

$$ z=2-x-y=2-x+\frac{x+1}{2}=\frac{5-x}{2}. $$

Подставим в третье уравнение:

$$ x^2+(y+z)^2+(z-1)^2=9. $$

Так как

$$ y+z=2-x,\qquad z-1=\frac{3-x}{2}, $$
то получаем:

$$ x^2+(2-x)^2+\left(\frac{3-x}{2}\right)^2=9. $$

$$ x^2+4-4x+x^2+\frac{9}{4}-3x+\frac{x^2}{4}=9, $$
$$ \frac{9}{4}x^2-7x+\frac{25}{4}=9, $$
$$ 9x^2-28x-11=0. $$

$$ D=(-28)^2-4\cdot 9\cdot(-11)=1024,\quad \sqrt D=32. $$

$$ x=\frac{28\pm 32}{18}, $$
$$ x_1=\frac{10}{3},\quad x_2=-\frac{2}{9}. $$

Найдём $y$ и $z$:

$$ x=\frac{10}{3}\Rightarrow y=-\frac{7}{6},\ z=-\frac{5}{6}; $$
$$ x=-\frac{2}{9}\Rightarrow y=-\frac{7}{18},\ z=\frac{23}{18}. $$

Ответ

а) $$(0;\,-2;\,3),\ \left(\frac{13}{7};\,\frac{12}{7};\,-\frac{18}{7}\right);$$
б) $$\left(\frac{10}{3};\,-\frac{7}{6};\,-\frac{5}{6}\right),\ \left(-\frac{2}{9};\,-\frac{7}{18};\ \frac{23}{18}\right).$$