Упр.36.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) {sin(x) sin(y) = 0,75; tg(x) tg(y) = 3};
б) {sin(x) = sin(2y); cos(x) = sin(y)}.

а) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} \sin x \sin y = \dfrac34,\\ \tg x \tg y = 3. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$ \tg x \tg y=\frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y}=3. $$

Так как $$\sin x \sin y=\dfrac34,$$ то

$$ \frac{3/4}{\cos x \cos y}=3,\qquad \cos x \cos y=\frac14. $$

Сложим уравнения:

$$ \cos x \cos y+\sin x \sin y=1, $$

откуда

$$ \cos(x-y)=1,\qquad x-y=2\pi k,\ k\in\mathbb Z. $$

Вычтем уравнения:

$$ \cos x \cos y-\sin x \sin y=-\frac12, $$

то есть

$$ \cos(x+y)=-\frac12. $$

Следовательно,

$$ x+y=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

Решаем систему

$$ \begin{cases} x-y=2\pi k,\\ x+y=\pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi n. \end{cases} $$

Получаем

$$ x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi(n+k),\qquad y=\pm \frac{\pi}{3}+\pi(n-k). $$

Итак, решения:

$$ \left(-\frac{\pi}{3}+\pi(n+k);\,-\frac{\pi}{3}+\pi(n-k)\right), \left(\frac{\pi}{3}+\pi(n+k);\;\frac{\pi}{3}+\pi(n-k)\right), \quad n,k\in\mathbb Z. $$

б) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} \sin x=\sin 2y,\\ \cos x=\sin y. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$ \cos x=\sin y=\cos\left(\frac{\pi}{2}-y\right). $$

Тогда возможны два случая:

$$ x=\frac{\pi}{2}-y+2\pi k $$

или

$$ x=-\frac{\pi}{2}+y+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. $$

1) Пусть $$x=\dfrac{\pi}{2}-y+2\pi k.$$ Тогда

$$ \sin x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-y\right)=\cos y. $$

По первому уравнению:

$$ \cos y=\sin 2y=2\sin y\cos y. $$

Отсюда

$$ \cos y(1-2\sin y)=0. $$

Если $$\cos y=0,$$ то

$$ y=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n. $$

Тогда соответственно

$$ x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n. $$

Если $$1-2\sin y=0,$$ то

$$ \sin y=\frac12, $$

то есть

$$ y=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad y=\frac{5\pi}{6}+2\pi n. $$

Тогда

$$ x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n. $$

2) Пусть $$x=-\dfrac{\pi}{2}+y+2\pi k.$$ Тогда

$$ \sin x=\sin\left(y-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos y. $$

По первому уравнению:

$$ -\cos y=\sin 2y=2\sin y\cos y, $$

откуда

$$ \cos y(2\sin y+1)=0. $$

Если $$\cos y=0,$$ то снова получаем

$$ y=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n, $$

и соответственно

$$ x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n. $$

Если $$2\sin y+1=0,$$ то

$$ \sin y=-\frac12, $$

то есть

$$ y=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad y=\frac{7\pi}{6}+2\pi n. $$

Тогда

$$ x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n. $$

Объединяя все решения, получаем:

$$ (2\pi n;\ \frac{\pi}{2}+2\pi n),\quad (\pi+2\pi n;\ -\frac{\pi}{2}+2\pi n),\quad (\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ \frac{\pi}{6}+2\pi n), $$

$$ (\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\ \frac{7\pi}{6}+2\pi n),\quad (\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\ -\frac{\pi}{6}+2\pi n),\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$\left(-\dfrac{\pi}{3}+\pi(n+k);\,-\dfrac{\pi}{3}+\pi(n-k)\right),\ \left(\dfrac{\pi}{3}+\pi(n+k);\ \dfrac{\pi}{3}+\pi(n-k)\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$

б) $$(2\pi n;\ \dfrac{\pi}{2}+2\pi n),\ (\pi+2\pi n;\ -\dfrac{\pi}{2}+2\pi n),\ (\dfrac{\pi}{3}+2\pi n;\ \dfrac{\pi}{6}+2\pi n),\ (\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n;\ \dfrac{7\pi}{6}+2\pi n),\ (\dfrac{4\pi}{3}+2\pi n;\ -\dfrac{\pi}{6}+2\pi n),\ n\in\mathbb Z.$$