Упр.36.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   а) $$\begin{cases}\sin(x)\sin(y)=0{,}75,\\ \tg(x)\tg(y)=3;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}\sin(x)=\sin(2y),\\ \cos(x)=\sin(y).\end{cases}$$

а) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \sin x \sin y = \dfrac34,\\ \tg x \tg y = 3. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$\tg x \tg y=\frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y}=3.$$

Так как $$\sin x \sin y=\dfrac34,$$ то

$$\frac{3/4}{\cos x \cos y}=3,\qquad \cos x \cos y=\frac14.$$

Сложим уравнения:

$$\cos x \cos y+\sin x \sin y=1,$$

откуда

$$\cos(x-y)=1,\qquad x-y=2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

Вычтем уравнения:

$$\cos x \cos y-\sin x \sin y=-\frac12,$$

то есть

$$\cos(x+y)=-\frac12.$$

Следовательно,

$$x+y=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Решаем систему

$$\begin{cases} x-y=2\pi k,\\ x+y=\pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi n. \end{cases}$$

Получаем

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi(n+k),\qquad y=\pm \frac{\pi}{3}+\pi(n-k).$$

Итак, решения:

$$\left(-\frac{\pi}{3}+\pi(n+k);\,-\frac{\pi}{3}+\pi(n-k)\right), \left(\frac{\pi}{3}+\pi(n+k);\;\frac{\pi}{3}+\pi(n-k)\right), \quad n,k\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \sin x=\sin 2y,\\ \cos x=\sin y. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$\cos x=\sin y=\cos\left(\frac{\pi}{2}-y\right).$$

Тогда возможны два случая:

$$x=\frac{\pi}{2}-y+2\pi k$$

или

$$x=-\frac{\pi}{2}+y+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

1) Пусть $$x=\dfrac{\pi}{2}-y+2\pi k.$$ Тогда

$$\sin x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-y\right)=\cos y.$$

По первому уравнению:

$$\cos y=\sin 2y=2\sin y\cos y.$$

Отсюда

$$\cos y(1-2\sin y)=0.$$

Если $$\cos y=0,$$ то

$$y=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Тогда соответственно

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n.$$

Если $$1-2\sin y=0,$$ то

$$\sin y=\frac12,$$

то есть

$$y=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad y=\frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

2) Пусть $$x=-\dfrac{\pi}{2}+y+2\pi k.$$ Тогда

$$\sin x=\sin\left(y-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos y.$$

По первому уравнению:

$$-\cos y=\sin 2y=2\sin y\cos y,$$

откуда

$$\cos y(2\sin y+1)=0.$$

Если $$\cos y=0,$$ то снова получаем

$$y=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad y=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

и соответственно

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n.$$

Если $$2\sin y+1=0,$$ то

$$\sin y=-\frac12,$$

то есть

$$y=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad y=\frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$

Тогда

$$x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

Объединяя все решения, получаем:

$$(2\pi n;\ \frac{\pi}{2}+2\pi n),\quad (\pi+2\pi n;\ -\frac{\pi}{2}+2\pi n),\quad (\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ \frac{\pi}{6}+2\pi n),$$

$$(\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\ \frac{7\pi}{6}+2\pi n),\quad (\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\ -\frac{\pi}{6}+2\pi n),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\left(-\dfrac{\pi}{3}+\pi(n+k);\,-\dfrac{\pi}{3}+\pi(n-k)\right),\ \left(\dfrac{\pi}{3}+\pi(n+k);\ \dfrac{\pi}{3}+\pi(n-k)\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$

б) $$(2\pi n;\ \dfrac{\pi}{2}+2\pi n),\ (\pi+2\pi n;\ -\dfrac{\pi}{2}+2\pi n),\ (\dfrac{\pi}{3}+2\pi n;\ \dfrac{\pi}{6}+2\pi n),\ (\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n;\ \dfrac{7\pi}{6}+2\pi n),\ (\dfrac{4\pi}{3}+2\pi n;\ -\dfrac{\pi}{6}+2\pi n),\ n\in\mathbb Z.$$