Упр.36.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   а) $$\begin{cases}\operatorname{ctg}(x)\cdot\sin(2y)=0,\\ \sin(2x)+\cos(y)=0{,}5;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}\cos(x)\cdot\tg(2y)=0,\\ \sin^2(y)-\cos(2x)=1{,}5.\end{cases}$$

а) Рассмотрим первое уравнение системы:

$$\ctg x \cdot \sin 2y=0.$$

Отсюда возможны два случая:

$$\ctg x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2y=0.$$

1) Если $$\ctg x=0,$$ то

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\sin 2x=\sin(\pi+2\pi n)=0,$$

и из второго уравнения получаем

$$0+\cos y=0{,}5,$$

откуда

$$\cos y=\frac12,\quad y=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\sin 2y=0,$$ то

$$2y=\pi k,\quad y=\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Тогда второе уравнение принимает вид

$$\sin 2x+\cos\frac{\pi k}{2}=0{,}5.$$

Рассмотрим значения $$\cos\frac{\pi k}{2}$$:

• при $$\cos\frac{\pi k}{2}=1$$ получаем $$\sin 2x=-\frac12$$;
• при $$\cos\frac{\pi k}{2}=0$$ получаем $$\sin 2x=\frac12$$;
• при $$\cos\frac{\pi k}{2}=-1$$ получаем $$\sin 2x=\frac32,$$ что невозможно.

Значит, остаются случаи $$\sin 2x=\pm\frac12.$$ Тогда

$$\sin 2x=\frac12 \Rightarrow 2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z,$$

а

$$\sin 2x=-\frac12 \Rightarrow 2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Итак, для пункта а) получаем:

$$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\right),$$

$$\left((-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};\ \frac{\pi k}{2}\right),$$

$$\left((-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};\ 2\pi k\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим первое уравнение:

$$\sqrt{\cos x}\cdot \tg 2y=0.$$

Отсюда возможны два случая:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \tg 2y=0.$$

1) Если $$\cos x=0,$$ то

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\sin^2 y-\cos(\pi+2\pi n)=1{,}5,$$

то есть

$$\sin^2 y+1=\frac32,$$

$$\sin^2 y=\frac12.$$

Следовательно,

$$\sin y=\pm\frac{\sqrt2}{2},$$

и

$$y=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\tg 2y=0,$$ то

$$2y=\pi k,\quad y=\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Тогда второе уравнение имеет вид

$$\sin^2\frac{\pi k}{2}-\cos 2x=1{,}5.$$

Если $$\sin^2\frac{\pi k}{2}=1,$$ то

$$1-\cos 2x=\frac32,$$

$$\cos 2x=-\frac12,$$

откуда

$$2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Если $$\sin^2\frac{\pi k}{2}=0,$$ то

$$-\cos 2x=1{,}5,$$

что невозможно.

Значит, для пункта б) получаем:

$$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\right),$$

$$\left(\pm\frac{\pi}{3}+\pi n;\ \frac{\pi k}{2}\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\right),\ \left((-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};\ \frac{\pi k}{2}\right),\ \left((-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};\ 2\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$

б) $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\right),\ \left(\pm\frac{\pi}{3}+\pi n;\ \frac{\pi k}{2}\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$