Упр.36.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений методом подстановки:
а) $$\begin{cases}4x=y+3,\\7^{y-3x+4}=7^{y-5x+3}+6;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x=3y,\\\log_{\frac{1}{7}}(y+x)+\log_{\frac{1}{7}}(x-2y-1)=\log_{\frac{1}{7}}\left(\frac{8}{y-1}\right);\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}3y=x-2,\\5^{2x-5y-3}=6-5^{2y-x+2};\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}y=2x,\\\log_{\frac{1}{6}}(4x-y)+\log_{\frac{1}{6}}(5x-2y-2)=5\log_{\frac{1}{6}}\left(\frac{2}{(x-2)^{\frac{1}{5}}}\right).\end{cases}$$
а)
Из первого уравнения:
$$y=4x-3.$$
Подставим во второе:
$$7^{y-3x+4}=7^{y-5x+3}+6$$
$$7^{4x-3-3x+4}=7^{4x-3-5x+3}+6$$
$$7^{x+1}=7^{-x}+6.$$
Положим $$t=7^x$$, тогда $$7^{x+1}=7t$$, $$7^{-x}=\frac{1}{t}$$:
$$7t=\frac{1}{t}+6.$$
Умножим на $$t$$:
$$7t^2-6t-1=0.$$
$$D=36+28=64,$$
$$t_{1,2}=\frac{6\pm 8}{14}.$$
$$t_1=1,\quad t_2=-\frac17.$$
Так как $$t=7^x>0,$$ то подходит только $$t=1$$, значит $$7^x=1$$ и $$x=0.$$
Тогда $$y=4\cdot 0-3=-3.$$
Ответ: $$\,(0;\,-3).$$
б)
Из первого уравнения:
$$x=3y.$$
Подставим во второе:
$$\log_{\frac17}(y+x)+\log_{\frac17}(x-2y-1)=\log_{\frac17}\frac{8}{y-1}$$
$$\log_{\frac17}(4y)+\log_{\frac17}(y-1)=\log_{\frac17}\frac{8}{y-1}.$$
Объединим логарифмы:
$$\log_{\frac17}\bigl(4y(y-1)\bigr)=\log_{\frac17}\frac{8}{y-1}.$$
Тогда
$$4y(y-1)=\frac{8}{y-1}.$$
С учётом ОДЗ $$y>1$$ умножим на $$y-1$$:
$$4y(y-1)^2=8.$$
$$y(y-1)^2=2.$$
$$y^3-2y^2+y-2=0.$$
$$y^2(y-2)+(y-2)=0,$$
$$\bigl(y^2+1\bigr)(y-2)=0.$$
Отсюда $$y=2$$, тогда $$x=3\cdot 2=6.$$
Ответ: $$\,(6;\,2).$$
в)
Из первого уравнения:
$$x=3y+2.$$
Подставим во второе:
$$5^{2x-5y-3}=6-5^{2y-x+2}$$
$$5^{2(3y+2)-5y-3}=6-5^{2y-(3y+2)+2}$$
$$5^{y+1}=6-5^{-y}.$$
Положим $$t=5^y>0$$. Тогда $$5^{y+1}=5t$$, $$5^{-y}=\frac1t$$:
$$5t=6-\frac1t.$$
Умножим на $$t$$:
$$5t^2-6t+1=0.$$
$$D=36-20=16,$$
$$t_{1,2}=\frac{6\pm 4}{10}.$$
$$t_1=1,\quad t_2=\frac15.$$
Тогда
$$5^y=1 \Rightarrow y=0,$$
$$5^y=\frac15 \Rightarrow y=-1.$$
Найдём $$x$$:
при $$y=0$$: $$x=3\cdot 0+2=2$$;
при $$y=-1$$: $$x=3\cdot(-1)+2=-1.$$
Ответ: $$\,(-1;\,-1),\ (2;\,0).$$
г)
Из первого уравнения:
$$y=2x.$$
Подставим во второе:
$$\log_{\frac16}(4x-y)+\log_{\frac16}(5x-2y-2)=5\log_{\frac16}\frac{2}{\sqrt[5]{x-2}}.$$
Получаем:
$$\log_{\frac16}(2x)+\log_{\frac16}(x-2)=\log_{\frac16}\frac{32}{x-2}.$$
Тогда
$$\log_{\frac16}\bigl(2x(x-2)\bigr)=\log_{\frac16}\frac{32}{x-2},$$
значит
$$2x(x-2)=\frac{32}{x-2}.$$
С учётом ОДЗ $$x>2$$ умножим на $$x-2$$:
$$2x(x-2)^2=32.$$
$$x(x-2)^2=16.$$
$$x^3-4x^2+4x-16=0.$$
$$x^2(x-4)+4(x-4)=0,$$
$$\bigl(x^2+4\bigr)(x-4)=0.$$
Отсюда $$x=4$$, тогда $$y=2\cdot 4=8.$$
Ответ: $$\,(4;\,8).$$
