Упр.36.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}\sin(x)+\cos(y)=1,\\ \sin^2(x)+\cos^2(y)=\frac{1}{2};\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}\cos(x)+\cos(2y)=-1,\\ 5\cos(2y)-\cos(x)=-2;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}\cos(x)+\sin(y)=0{,}5,\\ \cos^2(x)+\cos^2(y)=1{,}25;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}2\sin(2x)+3\operatorname{tg}(3y)=-2,\\ 6\sin(2x)-2\operatorname{tg}(3y)=5.\end{cases}$$

Подробный ответ

а) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} \sin x+\cos y=1,\\ \sin^2 x+\cos^2 y=\dfrac12. \end{cases}$$
Возведём первое уравнение в квадрат:
$$(\sin x+\cos y)^2=1$$
$$\sin^2 x+2\sin x\cos y+\cos^2 y=1.$$
Из второго уравнения системы получаем:
$$1+2\sin x\cos y=\frac12,$$
$$2\sin x\cos y=-\frac12,\qquad \sin x\cos y=-\frac14.$$
Тогда из первого уравнения:
$$\sin x=1-\cos y.$$
Подставим в произведение:
$$(1-\cos y)\cos y=-\frac14,$$
$$\cos^2 y-\cos y+\frac14=0,$$
$$\left(\cos y-\frac12\right)^2=0.$$
Следовательно,
$$\cos y=\frac12,\qquad y=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n.$$
Тогда
$$\sin x=1-\frac12=\frac12,$$
$$x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$
б) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} \cos x+\cos 2y=-1,\\ 5\cos 2y-\cos x=-2. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$6\cos 2y=-3,$$
$$\cos 2y=-\frac12.$$
Тогда
$$2y=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad y=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n.$$
Из первого уравнения:
$$\cos x=-1-\cos 2y=-1+\frac12=-\frac12.$$
Значит,
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$
в) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} \cos x+\sin y=0{,}5,\\ \cos^2 x+\cos^2 y=1{,}25. \end{cases}$$
Возведём первое уравнение в квадрат:
$$(\cos x+\sin y)^2=\frac14.$$
$$\cos^2 x+2\sin y\cos x+\sin^2 y=\frac14.$$
Так как $$\sin^2 y=1-\cos^2 y$$, а из второго уравнения $$\cos^2 x+\cos^2 y=\frac54$$, то
$$\frac54+2\sin y\cos x+1-\cos^2 y=\frac14.$$
Удобнее выразить $$\sin y$$ из первого уравнения:
$$\sin y=\frac12-\cos x.$$
Тогда
$$\cos^2 x+\cos^2 y=\frac54.$$
Подставим $$\cos^2 y=1-\sin^2 y$$:
$$\cos^2 x+1-\left(\frac12-\cos x\right)^2=\frac54.$$
После упрощения получаем:
$$2\cos^2 x-\cos x-1=0.$$
$$(2\cos x+1)(\cos x-1)=0.$$
Отсюда:
$$\cos x=1 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$
1) Если $$\cos x=1$$, то
$$x=2\pi n,\qquad \sin y=\frac12-1=-\frac12,$$
$$y=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k.$$
2) Если $$\cos x=-\frac12$$, то
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad \sin y=\frac12+\frac12=1,$$
$$y=\frac{\pi}{2}+2\pi k.$$
г) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} 2\sin 2x+3\tg 3y=-2,\\ 6\sin 2x-2\tg 3y=5. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$3$$:
$$6\sin 2x+9\tg 3y=-6.$$
Вычтем второе уравнение:
$$11\tg 3y=-11,$$
$$\tg 3y=-1.$$
Значит,
$$3y=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad y=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$2\sin 2x+3(-1)=-2,$$
$$2\sin 2x=1,$$
$$\sin 2x=\frac12.$$
Тогда
$$2x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,$$
$$x=(-1)^k\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2},\qquad k\in\mathbb Z.$$