Упр.36.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) {sin(x)+cos(y)=1, sin^2(x)+cos^2(y)=1/2};
б) {cos(x)+cos(2y)=-1, 5cos(2y)-cos(x)=-2};
в) {cos(x)+sin(y)=0,5, cos^2(x)+cos^2(y)=1,25};
г) {2sin(2x)+3tg(3y)=-2, 6sin(2x)-2tg(3y)=5}.

Подробный ответ

а) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} \sin x+\cos y=1,\\ \sin^2 x+\cos^2 y=\dfrac12. \end{cases} $$
Возведём первое уравнение в квадрат:
$$ (\sin x+\cos y)^2=1 $$
$$ \sin^2 x+2\sin x\cos y+\cos^2 y=1. $$
Из второго уравнения системы получаем:
$$ 1+2\sin x\cos y=\frac12, $$
$$ 2\sin x\cos y=-\frac12,\qquad \sin x\cos y=-\frac14. $$
Тогда из первого уравнения:
$$ \sin x=1-\cos y. $$
Подставим в произведение:
$$ (1-\cos y)\cos y=-\frac14, $$
$$ \cos^2 y-\cos y+\frac14=0, $$
$$ \left(\cos y-\frac12\right)^2=0. $$
Следовательно,
$$ \cos y=\frac12,\qquad y=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n. $$
Тогда
$$ \sin x=1-\frac12=\frac12, $$
$$ x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. $$
б) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} \cos x+\cos 2y=-1,\\ 5\cos 2y-\cos x=-2. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$ 6\cos 2y=-3, $$
$$ \cos 2y=-\frac12. $$
Тогда
$$ 2y=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad y=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n. $$
Из первого уравнения:
$$ \cos x=-1-\cos 2y=-1+\frac12=-\frac12. $$
Значит,
$$ x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. $$
в) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} \cos x+\sin y=0{,}5,\\ \cos^2 x+\cos^2 y=1{,}25. \end{cases} $$
Возведём первое уравнение в квадрат:
$$ (\cos x+\sin y)^2=\frac14. $$
$$ \cos^2 x+2\sin y\cos x+\sin^2 y=\frac14. $$
Так как $$\sin^2 y=1-\cos^2 y$$, а из второго уравнения $$\cos^2 x+\cos^2 y=\frac54$$, то
$$ \frac54+2\sin y\cos x+1-\cos^2 y=\frac14. $$
Удобнее выразить $$\sin y$$ из первого уравнения:
$$ \sin y=\frac12-\cos x. $$
Тогда
$$ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac54. $$
Подставим $$\cos^2 y=1-\sin^2 y$$:
$$ \cos^2 x+1-\left(\frac12-\cos x\right)^2=\frac54. $$
После упрощения получаем:
$$ 2\cos^2 x-\cos x-1=0. $$
$$ (2\cos x+1)(\cos x-1)=0. $$
Отсюда:
$$ \cos x=1 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12. $$
1) Если $$\cos x=1$$, то
$$ x=2\pi n,\qquad \sin y=\frac12-1=-\frac12, $$
$$ y=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k. $$
2) Если $$\cos x=-\frac12$$, то
$$ x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad \sin y=\frac12+\frac12=1, $$
$$ y=\frac{\pi}{2}+2\pi k. $$
г) Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} 2\sin 2x+3\tg 3y=-2,\\ 6\sin 2x-2\tg 3y=5. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$3$$:
$$ 6\sin 2x+9\tg 3y=-6. $$
Вычтем второе уравнение:
$$ 11\tg 3y=-11, $$
$$ \tg 3y=-1. $$
Значит,
$$ 3y=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad y=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 2\sin 2x+3(-1)=-2, $$
$$ 2\sin 2x=1, $$
$$ \sin 2x=\frac12. $$
Тогда
$$ 2x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k, $$
$$ x=(-1)^k\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2},\qquad k\in\mathbb Z. $$