Упр.36.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}x^3+y^3=35,\\x^2y+xy^2=30;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x^3y+xy^3=\frac{10}{9}(x+y)^2,\\x^4y+xy^4=\frac{2}{3}(x+y)^3;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}x^3+y^3=19,\\(xy+8)(x+y)=2;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}x^4+6x^2y^2+y^4=136,\\x^3y+xy^3=30.\end{cases}$$
а)
$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=35,$$
$$x^2y+xy^2=xy(x+y)=30.$$Обозначим $$a=x+y,$$ $$b=xy.$$ Тогда
$$a(a^2-3b)=35,$$
$$ab=30.$$Из второго уравнения $$b=\dfrac{30}{a}.$$ Подставим в первое:
$$a\left(a^2-3\cdot \frac{30}{a}\right)=35,$$
$$a^3-90=35,$$
$$a^3=125,$$
$$a=5.$$Тогда $$b=\dfrac{30}{5}=6.$$ Получаем систему
$$x+y=5,$$
$$xy=6.$$$$t^2-5t+6=0,$$
$$t=2 \text{ или } t=3.$$Следовательно, $$(x,y)=(2,3)$$ или $$(x,y)=(3,2).$$
б)
$$x^3y+xy^3=xy(x^2+y^2)=\frac{10}{9}(x+y)^2,$$
$$x^4y+xy^4=xy(x^3+y^3)=\frac{2}{3}(x+y)^3.$$Обозначим $$a=x+y,$$ $$b=xy.$$ Тогда
$$b(a^2-2b)=\frac{10}{9}a^2,$$
$$b(a^3-3ab)=\frac{2}{3}a^3.$$Из первого уравнения системы получаем
$$\frac{b(a^2-2b)}{b(a^3-3ab)}=\frac{\frac{10}{9}a^2}{\frac{2}{3}a^3},$$
что после упрощения даёт
$$3x^2+3y^2=5x^2-5xy+5y^2,$$
$$2x^2-5xy+2y^2=0.$$Решая как квадратное относительно $$y$$, получаем
$$y=2x \quad \text{или} \quad y=\frac{x}{2}.$$
Подставим в первое уравнение системы.
1) Если $$y=2x,$$ то
$$x^3\cdot 2x+x\cdot (2x)^3=\frac{10}{9}(x+2x)^2,$$
$$10x^4=10x^2,$$
$$x^2(x^2-1)=0.$$Отсюда $$x=0,\pm 1.$$ Тогда
$$(0,0),\; (-1,-2),\; (1,2).$$
2) Если $$y=\frac{x}{2},$$ то
$$x^3\cdot \frac{x}{2}+x\left(\frac{x}{2}\right)^3=\frac{10}{9}\left(x+\frac{x}{2}\right)^2,$$
$$x^2(x^2-1)=0.$$Отсюда $$x=0,\pm 1.$$ Тогда
$$(0,0),\; (-2,-1),\; (2,1).$$
Итак, все решения:
$$(-2,-1),\; (-1,-2),\; (0,0),\; (1,2),\; (2,1).$$
в)
$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=19.$$
Обозначим $$a=x+y,$$ $$b=xy.$$ Тогда
$$a(a^2-3b)=19,$$
$$(b+8)a=2.$$Из второго уравнения
$$b=\frac{2}{a}-8.$$
Подставим в первое:
$$a\left(a^2-3\left(\frac{2}{a}-8\right)\right)=19,$$
$$a^3+24a-6=19,$$
$$a^3+24a-25=0.$$Проверяем целые корни: $$a=1$$ подходит. Тогда
$$(a-1)(a^2+a+25)=0,$$
$$a=1.$$Следовательно,
$$b=\frac{2}{1}-8=-6.$$
Получаем систему
$$x+y=1,$$
$$xy=-6.$$$$t^2-t-6=0,$$
$$t=-2 \text{ или } t=3.$$Значит,
$$(x,y)=(-2,3),\; (3,-2).$$
г)
$$x^4+6x^2y^2+y^4=(x^2+y^2)^2+4x^2y^2=136,$$
$$x^3y+xy^3=xy(x^2+y^2)=30.$$Обозначим $$a=x^2+y^2,$$ $$b=xy.$$ Тогда
$$a^2+4b^2=136,$$
$$ab=30.$$Из второго уравнения $$a=\dfrac{30}{b}.$$ Подставим в первое:
$$\frac{900}{b^2}+4b^2=136,$$
$$900+4b^4=136b^2,$$
$$b^4-34b^2+225=0.$$Положим $$u=b^2.$$ Тогда
$$u^2-34u+225=0,$$
$$u=9 \text{ или } u=25.$$Значит, $$b=\pm 3$$ или $$b=\pm 5.$$ Но из условия $$ab=30,$$ поэтому возможны только пары
$$b=3,\ a=10; \qquad b=5,\ a=6.$$
1) Если $$x+y$$ и $$xy$$ удовлетворяют
$$x+y=10,\quad xy=3,$$
то
$$t^2-10t+3=0,$$
$$t=5\pm \sqrt{22}.$$Получаем решения
$$(5-\sqrt{22},\,5+\sqrt{22}),\quad (5+\sqrt{22},\,5-\sqrt{22}).$$
2) Если
$$x+y=6,\quad xy=5,$$
то
$$t^2-6t+5=0,$$
$$t=1 \text{ или } 5.$$Получаем решения
$$(1,5),\quad (5,1).$$
Ответ
а) $$(2;3),\ (3;2).$$
б) $$(-2;-1),\ (-1;-2),\ (0;0),\ (1;2),\ (2;1).$$
в) $$(-2;3),\ (3;-2).$$
г) $$(5-\sqrt{22};\,5+\sqrt{22}),\ (5+\sqrt{22};\,5-\sqrt{22}),\ (1;5),\ (5;1).$$
