Упр.36.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}x^2+4xy-2y^2=5(x+y),\\5x^2-xy-y^2=7(x+y);\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x^4-y^4=15,\\x^3y-xy^3=6;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}x^3-y^3=19(x-y),\\x^3+y^3=7(x+y);\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}x^2+xy+y^2=19(x-y)^2,\\x^2-xy+y^2=7(x-y).\end{cases}$$
а)
Рассмотрим частное уравнений:
$$\frac{x^2+4xy-2y^2}{5x^2-xy-y^2}=\frac57.$$
Тогда
$$7(x^2+4xy-2y^2)=5(5x^2-xy-y^2),$$
$$18x^2-33xy+9y^2=0,$$
$$6x^2-11xy+3y^2=0.$$
Положим $$y=kx$$. Тогда
$$6-11k+3k^2=0,$$
$$3k^2-11k+6=0,$$
$$D=121-72=49,$$
$$k_1=\frac{11-7}{6}=\frac23,\qquad k_2=\frac{11+7}{6}=3.$$
Значит, $$y=\frac23x$$ или $$y=3x$$.
1) Если $$y=\frac23x$$, то
$$x^2+4x\cdot\frac23x-2\left(\frac23x\right)^2=5\left(x+\frac23x\right),$$
$$x^2=3x,$$
$$x(x-3)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=3$$. Тогда
$$y=0$$ или $$y=2.$$
Получаем точки $$(0;0)$$ и $$(3;2)$$.
2) Если $$y=3x$$, то
$$x^2+4x\cdot 3x-2(3x)^2=5(x+3x),$$
$$-7x^2=20x,$$
$$7x(x+4)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=-4$$. При $$x=-4$$ имеем $$y=-12$$, а при $$x=0$$ уже получена точка $$(0;0)$$.
Итак, для пункта а) решения: $$(-4;-12),\ (0;0),\ (3;2).$$
б)
Используем формулы:
$$x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2),$$
$$x^3y-xy^3=xy(x^2-y^2).$$
Рассмотрим частное уравнений:
$$\frac{x^4-y^4}{x^3y-xy^3}=\frac{15}{6}=\frac52.$$
Тогда
$$\frac{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}{xy(x^2-y^2)}=\frac52,$$
$$\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac52,$$
$$2x^2-5xy+2y^2=0.$$
Положим $$y=kx$$. Тогда
$$2-5k+2k^2=0,$$
$$2k^2-5k+2=0,$$
$$D=25-16=9,$$
$$k_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad k_2=\frac{5+3}{4}=2.$$
Значит, $$y=\frac12x$$ или $$y=2x$$.
1) Если $$y=\frac12x$$, то
$$x^4-\left(\frac{x}{2}\right)^4=15,$$
$$x^4-\frac{x^4}{16}=15,$$
$$\frac{15}{16}x^4=15,$$
$$x^4=16,$$
$$x=\pm 2.$$
Тогда $$y=\pm 1$$ с тем же знаком. Получаем точки $$(-2;-1)$$ и $$(2;1).$$
2) Если $$y=2x$$, то
$$x^4-(2x)^4=15,$$
$$-15x^4=15,$$
$$x^4=-1,$$
что невозможно в действительных числах.
Итак, для пункта б) решения: $$(-2;-1),\ (2;1).$$
в)
Используем формулы:
$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2),$$
$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2).$$
Рассмотрим частное уравнений:
$$\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}=\frac{19}{7}.$$
Тогда
$$7(x^2+xy+y^2)=19(x^2-xy+y^2),$$
$$12x^2-26xy+12y^2=0,$$
$$6x^2-13xy+6y^2=0.$$
Положим $$y=kx$$. Тогда
$$6-13k+6k^2=0,$$
$$6k^2-13k+6=0,$$
$$D=169-144=25,$$
$$k_1=\frac{13-5}{12}=\frac23,\qquad k_2=\frac{13+5}{12}=\frac32.$$
Значит, $$y=\frac23x$$ или $$y=\frac32x$$.
1) Если $$y=\frac23x$$, то
$$x^3-\left(\frac23x\right)^3=19\left(x-\frac23x\right),$$
$$x^3-\frac{8}{27}x^3=\frac{19}{3}x,$$
$$\frac{19}{27}x^3=\frac{19}{3}x,$$
$$x^3=9x,$$
$$x(x-3)(x+3)=0.$$
Получаем точки $$(-3;-2),\ (0;0),\ (3;2).$$
2) Если $$y=\frac32x$$, то
$$x^3+\left(\frac32x\right)^3=7\left(x+\frac32x\right),$$
$$x^3+\frac{27}{8}x^3=\frac{35}{2}x,$$
$$\frac{35}{8}x^3=\frac{35}{2}x,$$
$$x^3=4x,$$
$$x(x-2)(x+2)=0.$$
Получаем точки $$(-2;-3),\ (0;0),\ (2;3).$$
Итак, для пункта в) решения: $$(-3;-2),\ (0;0),\ (3;2),\ (-2;-3),\ (2;3).$$
г)
Рассмотрим частное уравнений:
$$\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}=\frac{19(x-y)^2}{7(x-y)}.$$
Удобнее сразу положить $$y=kx$$. Тогда из системы получаем
$$x^2+xy+y^2=19(x-y)^2,$$
$$x^2-xy+y^2=7(x-y).$$
Из первого уравнения:
$$1+k+k^2=19(1-2k+k^2).$$
Отсюда
$$18k^2-39k+18=0,$$
$$6k^2-13k+6=0,$$
$$k=\frac23 \text{ или } k=\frac32.$$
1) Если $$y=\frac23x$$, то
$$x^2-\frac23x^2+\frac49x^2=7\left(x-\frac23x\right),$$
$$\frac79x^2=\frac73x,$$
$$x^2-3x=0,$$
$$x(x-3)=0.$$
Получаем точки $$(0;0)$$ и $$(3;2)$$.
2) Если $$y=\frac32x$$, то
$$x^2-\frac32x^2+\frac94x^2=7\left(x-\frac32x\right),$$
$$\frac74x^2=-\frac72x,$$
$$x(x+2)=0.$$
Получаем точки $$(0;0)$$ и $$(-2;-3)$$.
Итак, для пункта г) решения: $$(-2;-3),\ (0;0),\ (3;2).$$
Ответ
а) $$(-4;-12),\ (0;0),\ (3;2)$$
б) $$(-2;-1),\ (2;1)$$
в) $$(-3;-2),\ (0;0),\ (3;2),\ (-2;-3),\ (2;3)$$
г) $$(-2;-3),\ (0;0),\ (3;2)$$
