Упр.36.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases} yx^{\log_y x}=x^{5/2}, \\ \log_4 y\cdot\log_y(y-3x)=1; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} 20x^{\log_3 y}+7y^{\log_3 x}=81\,3^{1/3}, \\ \log_9(x^2)+\log_{27}(y^3)=\frac{8}{3}. \end{cases}$$
а) Рассмотрим второе уравнение:
$$\log_4 y \cdot \log_y(y-3x)=1.$$
Так как $$\log_4 y=\dfrac{1}{\log_y 4},$$ то
$$\frac{1}{\log_y 4}\cdot \log_y(y-3x)=1,$$
откуда
$$\log_4(y-3x)=1,$$
значит
$$y-3x=4,$$
$$y=4+3x.$$
Теперь первое уравнение:
$$yx^{\log_y x}=x^{5/2}.$$
Возьмём логарифм по основанию $$y$$:
$$\log_y\!\left(yx^{\log_y x}\right)=\log_y x^{5/2}.$$
Тогда
$$1+\log_y x\cdot \log_y x=\frac52\log_y x.$$
Обозначим $$z=\log_y x$$. Получаем:
$$1+z^2=\frac52 z,$$
$$2+2z^2=5z,$$
$$2z^2-5z+2=0.$$
$$D=25-16=9,$$
$$z_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad z_2=\frac{5+3}{4}=2.$$
1) Если $$\log_y x=\frac12,$$ то $$x=\sqrt y,$$ значит $$y=x^2.$$ Подставим в $$y=4+3x$$:
$$x^2=4+3x,$$
$$x^2-3x-4=0,$$
$$x_1=-1,\quad x_2=4.$$
С учётом области допустимых значений $$x>0,\ y>0$$ подходит только $$x=4$$, тогда
$$y=4^2=16.$$
2) Если $$\log_y x=2,$$ то $$x=y^2.$$ Тогда из $$y=4+3x$$ получаем
$$y=4+3y^2,$$
$$3y^2-y+4=0.$$
$$D=1-48<0,$$
действительных решений нет.
б) Второе уравнение:
$$\log_9 x^2+\log_{27} y^3=\frac83.$$
Переходим к основанию $$3$$:
$$\log_{3^2}x^2+\log_{3^3}y^3=\frac83,$$
$$\log_3 x+\log_3 y=\frac83,$$
$$\log_3(xy)=\frac83,$$
$$xy=3^{8/3}.$$
Тогда
$$y=\frac{3^{8/3}}{x}.$$
Первое уравнение:
$$20x^{\log_3 y}+7y^{\log_3 x}=81\sqrt[3]{3}.$$
Так как $$y=\dfrac{3^{8/3}}{x},$$ то
$$x^{\log_3 y}=x^{\log_3(3^{8/3}/x)}=x^{8/3-\log_3 x}.$$
Обозначим $$z=\log_3 x$$. Тогда $$\log_3 y=\dfrac83-z$$, и первое уравнение принимает вид
$$20\cdot 3^{z\left(\frac83-z\right)}+7\cdot 3^{\left(\frac83-z\right)z}=81\sqrt[3]{3}.$$
Оба слагаемых одинаковы, поэтому
$$27\cdot 3^{z\left(\frac83-z\right)}=81\sqrt[3]{3},$$
$$3^{z\left(\frac83-z\right)}=3^{1+\frac13}.$$
Следовательно,
$$z\left(\frac83-z\right)=\frac43,$$
$$8z-3z^2=4,$$
$$3z^2-8z+4=0.$$
$$D=64-48=16,$$
$$z_1=\frac{8-4}{6}=\frac23,\qquad z_2=\frac{8+4}{6}=2.$$
1) Если $$\log_3 x=\frac23,$$ то
$$x=3^{2/3}=\sqrt[3]{9},$$
$$y=\frac{3^{8/3}}{3^{2/3}}=3^2=9.$$
2) Если $$\log_3 x=2,$$ то
$$x=9,$$
$$y=\frac{3^{8/3}}{9}=3^{2/3}=\sqrt[3]{9}.$$
Ответ
а) $$\left(4;\,16\right)$$;
б) $$\left(\sqrt[3]{9};\,9\right),\ \left(9;\,\sqrt[3]{9}\right).$$
