Упр.36.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) {y x^log(y; x) = x^(5/2); log(4; y) · log(y; y-3x) = 1};
б) {20x^log(3; y) + 7y^log(3; x) = 81 3^(1/3); log(9; x^2) + log(27; y^3) = 8/3}.

а) Рассмотрим второе уравнение:

$$\log_4 y \cdot \log_y(y-3x)=1.$$

Так как $$\log_4 y=\dfrac{1}{\log_y 4},$$ то

$$\frac{1}{\log_y 4}\cdot \log_y(y-3x)=1,$$

откуда

$$\log_4(y-3x)=1,$$

значит

$$y-3x=4,$$

$$y=4+3x.$$

Теперь первое уравнение:

$$yx^{\log_y x}=x^{5/2}.$$

Возьмём логарифм по основанию $$y$$:

$$\log_y\!\left(yx^{\log_y x}\right)=\log_y x^{5/2}.$$

Тогда

$$1+\log_y x\cdot \log_y x=\frac52\log_y x.$$

Обозначим $$z=\log_y x$$. Получаем:

$$1+z^2=\frac52 z,$$

$$2+2z^2=5z,$$

$$2z^2-5z+2=0.$$

$$D=25-16=9,$$

$$z_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad z_2=\frac{5+3}{4}=2.$$

1) Если $$\log_y x=\frac12,$$ то $$x=\sqrt y,$$ значит $$y=x^2.$$ Подставим в $$y=4+3x$$:

$$x^2=4+3x,$$

$$x^2-3x-4=0,$$

$$x_1=-1,\quad x_2=4.$$

С учётом области допустимых значений $$x>0,\ y>0$$ подходит только $$x=4$$, тогда

$$y=4^2=16.$$

2) Если $$\log_y x=2,$$ то $$x=y^2.$$ Тогда из $$y=4+3x$$ получаем

$$y=4+3y^2,$$

$$3y^2-y+4=0.$$

$$D=1-48<0,$$

действительных решений нет.

б) Второе уравнение:

$$\log_9 x^2+\log_{27} y^3=\frac83.$$

Переходим к основанию $$3$$:

$$\log_{3^2}x^2+\log_{3^3}y^3=\frac83,$$

$$\log_3 x+\log_3 y=\frac83,$$

$$\log_3(xy)=\frac83,$$

$$xy=3^{8/3}.$$

Тогда

$$y=\frac{3^{8/3}}{x}.$$

Первое уравнение:

$$20x^{\log_3 y}+7y^{\log_3 x}=81\sqrt[3]{3}.$$

Так как $$y=\dfrac{3^{8/3}}{x},$$ то

$$x^{\log_3 y}=x^{\log_3(3^{8/3}/x)}=x^{8/3-\log_3 x}.$$

Обозначим $$z=\log_3 x$$. Тогда $$\log_3 y=\dfrac83-z$$, и первое уравнение принимает вид

$$20\cdot 3^{z\left(\frac83-z\right)}+7\cdot 3^{\left(\frac83-z\right)z}=81\sqrt[3]{3}.$$

Оба слагаемых одинаковы, поэтому

$$27\cdot 3^{z\left(\frac83-z\right)}=81\sqrt[3]{3},$$

$$3^{z\left(\frac83-z\right)}=3^{1+\frac13}.$$

Следовательно,

$$z\left(\frac83-z\right)=\frac43,$$

$$8z-3z^2=4,$$

$$3z^2-8z+4=0.$$

$$D=64-48=16,$$

$$z_1=\frac{8-4}{6}=\frac23,\qquad z_2=\frac{8+4}{6}=2.$$

1) Если $$\log_3 x=\frac23,$$ то

$$x=3^{2/3}=\sqrt[3]{9},$$

$$y=\frac{3^{8/3}}{3^{2/3}}=3^2=9.$$

2) Если $$\log_3 x=2,$$ то

$$x=9,$$

$$y=\frac{3^{8/3}}{9}=3^{2/3}=\sqrt[3]{9}.$$

Ответ

а) $$\left(4;\,16\right)$$;

б) $$\left(\sqrt[3]{9};\,9\right),\ \left(9;\,\sqrt[3]{9}\right).$$