Упр.36.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите системы уравнений:
а) $$\begin{cases}\sqrt{x+1}-y=2,\\ \log_{7}(4-x)=y;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}\sqrt{x+4}=2+y,\\ \log_{5}(6-x)=y-1.\end{cases}$$
а) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} \sqrt{x+1}-y=2,\\ \log_7(4-x)=y. \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=\sqrt{x+1}-2.$$
Из второго уравнения:
$$y=\log_7(4-x).$$
Тогда нужно найти точку пересечения графиков функций $$y=\sqrt{x+1}-2$$ и $$y=\log_7(4-x)$$.
Первая функция возрастает при $$x\ge -1$$, вторая убывает при $$x<4$$, значит, решение может быть только одно.
Проверим $$x=3$$:
$$\sqrt{3+1}-2=2-2=0,$$
$$\log_7(4-3)=\log_7 1=0.$$
Следовательно, $$y=0$$.
Итак, решение системы:
$$(3;0).$$
б) Рассмотрим систему
$$\begin{cases} \sqrt{x+4}=2+y,\\ \log_5(6-x)=y-1. \end{cases}$$
Выразим $$y$$:
$$y=\sqrt{x+4}-2,$$
$$y=\log_5(6-x)+1.$$
Первая функция возрастает при $$x\ge -4$$, вторая убывает при $$x<6$$, значит, решение может быть только одно.
Проверим $$x=5$$:
$$\sqrt{5+4}-2=3-2=1,$$
$$\log_5(6-5)+1=\log_5 1+1=0+1=1.$$
Следовательно, $$y=1$$.
Итак, решение системы:
$$(5;1).$$
Ответ
а) $$(3;0)$$; б) $$(5;1)$$.
