Упр.36.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) {2(x+y)^(1/5)=log_5(25y^2), 3log_5(y^2)-(x+y)^(1/5)=4};
б) {5^(x-y)-3|2y+x|=-1, 2|2y+x|-5^(x-y-1)=3};
в) {3(x+y)^(1/3)=log_2(16x^2), log_2(x^2)+2(x+y)^(1/3)=6};
г) {3^(x-y)-7|2y-x|=2, |2y-x|-3^(x-y-1)=-2}.

Подробный ответ

а)
Обозначим $$t=\sqrt[5]{x+y}.$$ Тогда система примет вид
$$\begin{cases} 2t=\log_5(25y^2),\\ 3\log_5(y^2)-t=4. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$t=3\log_5(y^2)-4.$$
Подставим в первое:
$$2\bigl(3\log_5(y^2)-4\bigr)=\log_5(25y^2),$$
$$6\log_5(y^2)-8=2+\log_5(y^2),$$
$$5\log_5(y^2)=10,$$
$$\log_5(y^2)=2,$$
$$y^2=25,$$
$$y=\pm 5.$$
Найдём $x$:
$$\sqrt[5]{x+y}=3\log_5(y^2)-4=6-4=2,$$
$$x+y=32.$$
Тогда
при $$y=5$$ получаем $$x=27,$$
при $$y=-5$$ получаем $$x=37.$$
б)
Обозначим $$u=|2y+x|,\quad v=5^{x-y}.$$ Тогда
$$\begin{cases} v-3u=-1,\\ 2u-5^{x-y-1}=3. \end{cases}$$
Так как $$5^{x-y-1}=\dfrac{1}{5}5^{x-y}=\dfrac{v}{5},$$ получаем
$$\begin{cases} v-3u=-1,\\ 2u-\dfrac{v}{5}=3. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$v=3u-1.$$ Подставим во второе:
$$2u-\dfrac{3u-1}{5}=3,$$
$$10u-3u+1=15,$$
$$7u=14,$$
$$u=2.$$
Тогда
$$|2y+x|=2,$$
$$2y+x=\pm 2.$$
Из первого уравнения системы:
$$v-3\cdot 2=-1,$$
$$v=5,$$
$$5^{x-y}=5,$$
$$x-y=1.$$
Решаем по случаям:
$$\begin{cases} x-y=1,\\ 2y+x=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=0,\\ y=-1 \end{cases}$$
$$\begin{cases} x-y=1,\\ 2y+x=-2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\dfrac{4}{3},\\ y=\dfrac{1}{3} \end{cases}$$
в)
Обозначим $$t=\sqrt[3]{x+y}.$$ Тогда система имеет вид
$$\begin{cases} 3t=\log_2(16x^2),\\ \log_2(x^2)+2t=6. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$2t=6-\log_2(x^2),$$
$$t=3-\dfrac12\log_2(x^2).$$
Подставим в первое:
$$3\left(3-\dfrac12\log_2(x^2)\right)=\log_2(16x^2),$$
$$9-\dfrac32\log_2(x^2)=4+\log_2(x^2),$$
$$\dfrac52\log_2(x^2)=5,$$
$$\log_2(x^2)=2,$$
$$x^2=4,$$
$$x=\pm 2.$$
Найдём $y$:
$$t=3-\dfrac12\cdot 2=2,$$
$$\sqrt[3]{x+y}=2,$$
$$x+y=8.$$
При $$x=-2$$ получаем $$y=10,$$
при $$x=2$$ получаем $$y=6.$$
г)
Обозначим $$u=|2y-x|,\quad v=3^{x-y}.$$ Тогда
$$\begin{cases} v-7u=2,\\ u-3^{x-y-1}=-2. \end{cases}$$
Так как $$3^{x-y-1}=\dfrac{v}{3},$$ получаем
$$\begin{cases} v-7u=2,\\ u-\dfrac{v}{3}=-2. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$v=7u+2.$$ Подставим во второе:
$$u-\dfrac{7u+2}{3}=-2,$$
$$3u-7u-2=-6,$$
$$-4u=-4,$$
$$u=1.$$
Тогда
$$|2y-x|=1,$$
$$2y-x=\pm 1.$$
Из первого уравнения системы:
$$v-7\cdot 1=2,$$
$$v=9,$$
$$3^{x-y}=9=3^2,$$
$$x-y=2.$$
Решаем по случаям:
$$\begin{cases} x-y=2,\\ 2y-x=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=5,\\ y=3 \end{cases}$$
$$\begin{cases} x-y=2,\\ 2y-x=-1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=3,\\ y=1 \end{cases}$$