Упр.36.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}2(x+y)^{\frac{1}{5}}=\log_5(25y^2),\\3\log_5(y^2)-(x+y)^{\frac{1}{5}}=4;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}5^{x-y}-3|2y+x|=-1,\\2|2y+x|-5^{x-y-1}=3;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}3(x+y)^{\frac{1}{3}}=\log_2(16x^2),\\\log_2(x^2)+2(x+y)^{\frac{1}{3}}=6;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}3^{x-y}-7|2y-x|=2,\\|2y-x|-3^{x-y-1}=-2.\end{cases}$$
а)
Обозначим $$t=\sqrt[5]{x+y}.$$ Тогда система примет вид
$$\begin{cases} 2t=\log_5(25y^2),\\ 3\log_5(y^2)-t=4. \end{cases}$$Из второго уравнения:
$$t=3\log_5(y^2)-4.$$
Подставим в первое:
$$2\bigl(3\log_5(y^2)-4\bigr)=\log_5(25y^2),$$
$$6\log_5(y^2)-8=2+\log_5(y^2),$$
$$5\log_5(y^2)=10,$$
$$\log_5(y^2)=2,$$
$$y^2=25,$$
$$y=\pm 5.$$Найдём $$x$$:
$$\sqrt[5]{x+y}=3\log_5(y^2)-4=6-4=2,$$
$$x+y=32.$$Тогда
при $$y=5$$ получаем $$x=27,$$
при $$y=-5$$ получаем $$x=37.$$б)
Обозначим $$u=|2y+x|,\quad v=5^{x-y}.$$ Тогда
$$\begin{cases} v-3u=-1,\\ 2u-5^{x-y-1}=3. \end{cases}$$Так как $$5^{x-y-1}=\dfrac{1}{5}5^{x-y}=\dfrac{v}{5},$$ получаем
$$\begin{cases} v-3u=-1,\\ 2u-\dfrac{v}{5}=3. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$v=3u-1.$$ Подставим во второе:
$$2u-\dfrac{3u-1}{5}=3,$$
$$10u-3u+1=15,$$
$$7u=14,$$
$$u=2.$$Тогда
$$|2y+x|=2,$$
$$2y+x=\pm 2.$$Из первого уравнения системы:
$$v-3\cdot 2=-1,$$
$$v=5,$$
$$5^{x-y}=5,$$
$$x-y=1.$$Решаем по случаям:
$$\begin{cases} x-y=1,\\ 2y+x=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=0,\\ y=-1 \end{cases}$$
$$\begin{cases} x-y=1,\\ 2y+x=-2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\dfrac{4}{3},\\ y=\dfrac{1}{3} \end{cases}$$
в)
Обозначим $$t=\sqrt[3]{x+y}.$$ Тогда система имеет вид
$$\begin{cases} 3t=\log_2(16x^2),\\ \log_2(x^2)+2t=6. \end{cases}$$Из второго уравнения:
$$2t=6-\log_2(x^2),$$
$$t=3-\dfrac12\log_2(x^2).$$Подставим в первое:
$$3\left(3-\dfrac12\log_2(x^2)\right)=\log_2(16x^2),$$
$$9-\dfrac32\log_2(x^2)=4+\log_2(x^2),$$
$$\dfrac52\log_2(x^2)=5,$$
$$\log_2(x^2)=2,$$
$$x^2=4,$$
$$x=\pm 2.$$Найдём $$y$$:
$$t=3-\dfrac12\cdot 2=2,$$
$$\sqrt[3]{x+y}=2,$$
$$x+y=8.$$При $$x=-2$$ получаем $$y=10,$$
при $$x=2$$ получаем $$y=6.$$г)
Обозначим $$u=|2y-x|,\quad v=3^{x-y}.$$ Тогда
$$\begin{cases} v-7u=2,\\ u-3^{x-y-1}=-2. \end{cases}$$Так как $$3^{x-y-1}=\dfrac{v}{3},$$ получаем
$$\begin{cases} v-7u=2,\\ u-\dfrac{v}{3}=-2. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$v=7u+2.$$ Подставим во второе:
$$u-\dfrac{7u+2}{3}=-2,$$
$$3u-7u-2=-6,$$
$$-4u=-4,$$
$$u=1.$$Тогда
$$|2y-x|=1,$$
$$2y-x=\pm 1.$$Из первого уравнения системы:
$$v-7\cdot 1=2,$$
$$v=9,$$
$$3^{x-y}=9=3^2,$$
$$x-y=2.$$Решаем по случаям:
$$\begin{cases} x-y=2,\\ 2y-x=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=5,\\ y=3 \end{cases}$$
$$\begin{cases} x-y=2,\\ 2y-x=-1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=3,\\ y=1 \end{cases}$$
Ответ
а) $$(27; 5),\ (37; -5);$$
б) $$(0; -1),\ \left(\dfrac{4}{3}; \dfrac{1}{3}\right);$$
в) $$(-2; 10),\ (2; 6);$$
г) $$(5; 3),\ (3; 1).$$
