Упр.36.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений:
а)
$$\begin{cases} \sqrt{\frac{y}{x}}-2\sqrt{\frac{x}{y}}=1,\\ \sqrt{5x+y}+\sqrt{5x-y}=4; \end{cases}$$
б)
$$\begin{cases} \sqrt{2x-y+11}-\sqrt{3x+y-9}=3,\\ (2x-y+11)^{\frac14}+(3x+y-9)^{\frac14}=3; \end{cases}$$
в)
$$\begin{cases} y^2+\sqrt{3y^2-2x+3}=\frac{2}{3}x+5,\\ 3x-2y=5; \end{cases}$$
г)
$$\begin{cases} x^{\frac13}+y^{\frac13}=3,\\ x^{\frac23}-(xy)^{\frac13}+y^{\frac23}=3. \end{cases}$$
Пусть $$z=\sqrt{\frac{y}{x}}.$$ Тогда первое уравнение системы принимает вид
$$z-\frac{2}{z}=1,\quad z>0.$$
Умножим на $$z$$:
$$z^2-z-2=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$z_1=\frac{1-3}{2}=-1,\quad z_2=\frac{1+3}{2}=2.$$
Так как $$z>0,$$ берём $$z=2.$$ Тогда
$$\sqrt{\frac{y}{x}}=2,\quad \frac{y}{x}=4,\quad y=4x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\sqrt{5x+y}+\sqrt{5x-y}=4,$$
$$\sqrt{5x+4x}+\sqrt{5x-4x}=4,$$
$$3\sqrt{x}+\sqrt{x}=4,$$
$$4\sqrt{x}=4,\quad \sqrt{x}=1,\quad x=1.$$
Тогда $$y=4.$$
Обозначим
$$a=\sqrt[4]{2x-y+11},\quad b=\sqrt[4]{3x+y-9}.$$
Тогда система имеет вид
$$a-b=3,\quad a+b=3.$$
Сложим уравнения:
$$2a=6,\quad a=3,$$
откуда $$b=0.$$
Но $$b=\sqrt[4]{3x+y-9}\ge 0,$$ и из второго уравнения системы должно быть
$$\sqrt[4]{2x-y+11}+\sqrt[4]{3x+y-9}=3.$$
При $$a=3,\ b=0$$ получаем
$$2x-y+11=81,\quad 3x+y-9=0,$$
что даёт
$$2x-y=70,\quad 3x+y=9.$$
Решая систему, находим
$$5x=79,\quad x=\frac{79}{5},\quad y=9-3x=-\frac{192}{5}.$$
Проверка показывает, что первое уравнение не выполняется, значит решений нет.
Из второго уравнения
$$3x-2y=5,\quad x=\frac{2y+5}{3}.$$
Подставим в первое:
$$y^2+\sqrt{3y^2-2\cdot \frac{2y+5}{3}+3}=\frac{2}{3}\cdot \frac{2y+5}{3}+5.$$
Удобнее сначала преобразовать выражение под корнем:
$$3y^2-2x+3=3y^2-\frac{2(2y+5)}{3}+3.$$
После упрощения получаем уравнение относительно $$y$$:
$$9y^2-4y-28=0.$$
$$D=16+1008=1024,$$
$$y_1=\frac{4-32}{18}=-\frac{14}{9},\quad y_2=\frac{4+32}{18}=2.$$
Тогда
$$x_1=\frac{2\cdot \left(-\frac{14}{9}\right)+5}{3}=\frac{17}{27},\quad x_2=\frac{2\cdot 2+5}{3}=3.$$
Положим
$$a=\sqrt[3]{x},\quad b=\sqrt[3]{y}.$$
Тогда система принимает вид
$$a+b=3,$$
$$a^2-ab+b^2=3.$$
Возведём первое уравнение в квадрат:
$$a^2+2ab+b^2=9.$$
Вычтем второе уравнение:
$$3ab=6,\quad ab=2.$$
Тогда
$$a+b=3,\quad ab=2.$$
Следовательно, $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
$$t^2-3t+2=0,$$
$$t_1=1,\quad t_2=2.$$
Значит,
$$x=1,\ y=8 \quad \text{или} \quad x=8,\ y=1.$$
Ответ
а) $$\left(1;\,4\right)$$; б) решений нет; в) $$\left(3;\,2\right),\ \left(\frac{17}{27};\,-\frac{14}{9}\right)$$; г) $$\left(1;\,8\right),\ \left(8;\,1\right)$$.
