Упр.36.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}3^x\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{-x+1}\cdot3^{y-2}=729,\\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=1;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=5,\\ xy=216;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}4^x\cdot0{,}5^x\cdot0{,}25^{-y}=512,\\ \sqrt{x}+2\sqrt{y}=5;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}=1,\\ \sqrt{xy}=4.\end{cases}$$
а)
$$3^x\cdot \left(\frac13\right)^{-x+1}\cdot 3^{y-2}=729,$$
$$\sqrt{x}-\sqrt{y}=1.$$$$\left(\frac13\right)^{-x+1}=3^{x-1},$$
поэтому
$$3^x\cdot 3^{x-1}\cdot 3^{y-2}=3^6,$$
$$3^{2x+y-3}=3^6,$$
$$2x+y=9.$$Тогда $$y=9-2x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\sqrt{x}-\sqrt{9-2x}=1.$$
Пусть $$\sqrt{x}=t,$$ тогда $$x=t^2$$ и
$$t-\sqrt{9-2t^2}=1.$$
Возведём в квадрат:
$$t-1=\sqrt{9-2t^2},$$
$$t^2-2t+1=9-2t^2,$$
$$3t^2-2t-8=0.$$
Отсюда
$$t=\frac{2\pm 10}{6},$$
$$t=2 \text{ или } t=-\frac43.$$
Так как $$t=\sqrt{x}\ge 0,$$ получаем $$t=2,$$ значит
$$x=4,\quad y=9-2\cdot 4=1.$$б)
$$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=5,$$
$$xy=216.$$Из второго уравнения
$$y=\frac{216}{x}.$$
Подставим в первое:
$$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{\frac{216}{x}}=5.$$
Обозначим $$\sqrt[3]{x}=t,$$ тогда $$x=t^3,$$ а
$$\sqrt[3]{\frac{216}{x}}=\frac{6}{t}.$$
Получаем
$$t+\frac{6}{t}=5,$$
$$t^2-5t+6=0,$$
$$\left(t-2\right)\left(t-3\right)=0.$$
Значит,
$$t=2 \text{ или } t=3.$$
Тогда
$$x=8,\ y=27$$
или
$$x=27,\ y=8.$$в)
$$4^x\cdot 0{,}5^x\cdot 0{,}25^{-y}=512,$$
$$\sqrt{x}+2\sqrt{y}=5.$$Преобразуем первое уравнение:
$$4^x=(2^2)^x=2^{2x},\quad 0{,}5^x=2^{-x},\quad 0{,}25^{-y}=(2^{-2})^{-y}=2^{2y}.$$
Тогда
$$2^{2x}\cdot 2^{-x}\cdot 2^{2y}=2^9,$$
$$2^{x+2y}=2^9,$$
$$x+2y=9.$$
Значит,
$$x=9-2y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\sqrt{9-2y}+2\sqrt{y}=5.$$
Пусть $$\sqrt{y}=t,$$ тогда $$y=t^2$$ и
$$\sqrt{9-2t^2}+2t=5.$$
Перенесём:
$$\sqrt{9-2t^2}=5-2t.$$
Возведём в квадрат:
$$9-2t^2=25-20t+4t^2,$$
$$6t^2-20t+16=0,$$
$$3t^2-10t+8=0.$$
Тогда
$$D=100-96=4,$$
$$t=\frac{10\pm 2}{6},$$
$$t=2 \text{ или } t=\frac43.$$
Следовательно,
$$y=4,\ x=1$$
или
$$y=\frac{16}{9},\ x=\frac{49}{9}.$$г)
$$\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}=1,$$
$$\sqrt{xy}=4.$$Из второго уравнения:
$$xy=16,$$
$$y=\frac{16}{x}.$$
Подставим в первое:
$$\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{\frac{16}{x}}=1.$$
Обозначим $$\sqrt[4]{x}=t,$$ тогда $$x=t^4,$$ а
$$\sqrt[4]{\frac{16}{x}}=\frac{2}{t}.$$
Получаем
$$t-\frac{2}{t}=1,$$
$$t^2-t-2=0,$$
$$\left(t-2\right)\left(t+1\right)=0.$$
Так как $$t=\sqrt[4]{x}\ge 0,$$ то $$t=2.$$
Тогда
$$x=16,\quad y=\frac{16}{16}=1.$$
Ответ
а) $$\left(4;\,1\right)$$;
б) $$\left(8;\,27\right),\ \left(27;\,8\right)$$;
в) $$\left(\frac{49}{9};\,\frac{16}{9}\right),\ \left(1;\,4\right)$$;
г) $$\left(16;\,1\right)$$.
