Упр.36.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) {v(x-y)+v(x+3y)=4, 2x-y=4};
б) {v(x-3)=v(4-y)-v(3x+y+1), 2x+y=3};
в) {v(2x+y)+v(6x-3y)=2, 6x+2y=10};
г) {v(4x-7)=v(-1-x-y)-v(2x+y), 3x+y=2}.

1. а)

   Из второго уравнения получаем $$y=2x-4.$$ Подставим в первое:
   $$\sqrt{x-(2x-4)}+\sqrt{x+3(2x-4)}=4,$$
   $$\sqrt{4-x}+\sqrt{7x-12}=4.$$
   Возведём в квадрат:
   $$4-x+7x-12+2\sqrt{(4-x)(7x-12)}=16,$$
   $$2\sqrt{28x-48-7x^2+12x}=24-6x,$$
   $$\sqrt{40x-48-7x^2}=12-3x.$$
   Снова возводим в квадрат:
   $$40x-48-7x^2=144-72x+9x^2,$$
   $$16x^2-112x+192=0,$$
   $$x^2-7x+12=0.$$
   Тогда
   $$x=3 \text{ или } x=4.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y=2x-4.$$
   При $$x=3$$ получаем $$y=2$$, при $$x=4$$ получаем $$y=4$$.

   Ответ: $$ (3;2),\ (4;4). $$

2. б)

   Из второго уравнения:
   $$y=3-2x.$$
   Подставим в первое:
   $$\sqrt{x-3}=\sqrt{4-(3-2x)}-\sqrt{3x+(3-2x)+1},$$
   $$\sqrt{x-3}=\sqrt{1+2x}-\sqrt{x+4}.$$
   Перенесём:
   $$\sqrt{x-3}+\sqrt{x+4}=\sqrt{1+2x}.$$
   Возводим в квадрат:
   $$x-3+2\sqrt{(x-3)(x+4)}+x+4=1+2x,$$
   $$2\sqrt{x^2+x-12}=0,$$
   $$x^2+x-12=0.$$
   Тогда
   $$x=-4 \text{ или } x=3.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y=3-2x.$$
   При $$x=-4$$ получаем $$y=11$$, при $$x=3$$ получаем $$y=-3$$.

   Ответ: $$(-4;11),\ (3;-3).$$

3. в)

   Из второго уравнения:
   $$6x+2y=10 \Rightarrow 3x+y=5 \Rightarrow y=5-3x.$$
   Подставим в первое:
   $$\sqrt{2x+y}+\sqrt{6x-3y}=2,$$
   $$\sqrt{2x+5-3x}+\sqrt{6x-3(5-3x)}=2,$$
   $$\sqrt{5-x}+\sqrt{15x-15}=2.$$
   Переносим и возводим в квадрат:
   $$5-x+2\sqrt{(5-x)(15x-15)}+15x-15=4,$$
   $$2\sqrt{75x-75-15x^2+15x}=14-14x,$$
   $$\sqrt{90x-15x^2-75}=7-7x.$$
   Снова возводим в квадрат:
   $$90x-15x^2-75=49-98x+49x^2,$$
   $$64x^2-188x+124=0,$$
   $$16x^2-47x+31=0.$$
   Тогда
   $$x=1 \text{ или } x=\frac{31}{16}.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y=5-3x.$$
   При $$x=1$$ получаем $$y=2$$, при $$x=\frac{31}{16}$$ получаем $$y=-\frac{13}{16}.$$

   Ответ: $$ (1;2),\ \left(\frac{31}{16};-\frac{13}{16}\right). $$

4. г)

   Из второго уравнения:
   $$3x+y=2 \Rightarrow y=2-3x.$$
   Подставим в первое:
   $$\sqrt{4x-7}=\sqrt{-1-x-(2-3x)}-\sqrt{2x+(2-3x)},$$
   $$\sqrt{4x-7}=\sqrt{2x-3}-\sqrt{2-x}.$$
   Перенесём:
   $$\sqrt{4x-7}+\sqrt{2-x}=\sqrt{2x-3}.$$
   Возводим в квадрат:
   $$4x-7+2\sqrt{(4x-7)(2-x)}+2-x=2x-3,$$
   $$2\sqrt{8x-4x^2-14+7x}=2-x,$$
   $$4(15x-4x^2-14)=4-4x+x^2,$$
   $$60x-16x^2-56=4-4x+x^2,$$
   $$17x^2-64x+60=0.$$
   Тогда
   $$x=\frac{30}{17} \text{ или } x=2.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y=2-3x.$$
   При $$x=\frac{30}{17}$$ получаем $$y=-\frac{56}{17}$$, при $$x=2$$ получаем $$y=-4$$.

   Ответ: $$\left(\frac{30}{17};-\frac{56}{17}\right),\ (2;-4).$$