Упр.36.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) {6x^(1/4)-4y^(1/3)=6, 3y^(1/3)-4x^(1/4)=-3};
б) {log_5(x)+lg(y)=5, 3log_5(x)-5lg(y)=17};
в) {5vx+2vy=9, 3vx-4vy=-5};
г) {log_(1/3)(x)-3log_(1/3)(y)=1, 2log_(1/3)(x)+5log_(1/3)(y)=-9}.

Подробный ответ

а) Обозначим $$u=\sqrt[4]{x}, \quad v=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда система примет вид
$$ \begin{cases} 6u-4v=6,\\ 3v-4u=-3. \end{cases} $$
Умножим второе уравнение на $$2$$:
$$ \begin{cases} 6u-4v=6,\\ 6v-8u=-6. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$ -2u+2v=0 \quad \Rightarrow \quad v=u. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 6u-4u=6 \quad \Rightarrow \quad 2u=6 \quad \Rightarrow \quad u=3. $$
Тогда $$v=3$$, значит
$$ x=u^4=3^4=81, \quad y=v^3=3^3=27. $$
б) Обозначим $$u=\log_5 x, \quad v=\lg y.$$ Тогда
$$ \begin{cases} u+v=5,\\ 3u-5v=17. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$5$$:
$$ \begin{cases} 5u+5v=25,\\ 3u-5v=17. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$ 8u=42 \quad \Rightarrow \quad u=\frac{21}{4}. $$
Тогда
$$ v=5-\frac{21}{4}=-\frac14. $$
Возвращаемся к переменным:
$$ \log_5 x=\frac{21}{4} \Rightarrow x=5^{21/4}=3125\sqrt[4]{5}, $$
$$ \lg y=-\frac14 \Rightarrow y=10^{-1/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{10}}. $$
в) Обозначим $$u=\sqrt{x}, \quad v=\sqrt{y}.$$ Тогда
$$ \begin{cases} 5u+2v=9,\\ 3u-4v=-5. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$ \begin{cases} 10u+4v=18,\\ 3u-4v=-5. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$ 13u=13 \quad \Rightarrow \quad u=1. $$
Тогда
$$ 5+2v=9 \quad \Rightarrow \quad 2v=4 \quad \Rightarrow \quad v=2. $$
Следовательно,
$$ x=u^2=1, \quad y=v^2=4. $$
г) Обозначим $$u=\log_{1/3} x, \quad v=\log_{1/3} y.$$ Тогда
$$ \begin{cases} u-3v=1,\\ 2u+5v=-9. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$5$$, второе на $$3$$:
$$ \begin{cases} 5u-15v=5,\\ 6u+15v=-27. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$ 11u=-22 \quad \Rightarrow \quad u=-2. $$
Тогда
$$ -2-3v=1 \quad \Rightarrow \quad -3v=3 \quad \Rightarrow \quad v=-1. $$
Возвращаемся к переменным:
$$ \log_{1/3} x=-2 \Rightarrow x=\left(\frac13\right)^{-2}=9, $$
$$ \log_{1/3} y=-1 \Rightarrow y=\left(\frac13\right)^{-1}=3. $$