Упр.36.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:
а) $$\begin{cases}6x^{\frac{1}{4}}-4y^{\frac{1}{3}}=6,\\3y^{\frac{1}{3}}-4x^{\frac{1}{4}}=-3;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}\log_5(x)+\lg(y)=5,\\3\log_5(x)-5\lg(y)=17;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}5\sqrt{x}+2\sqrt{y}=9,\\3\sqrt{x}-4\sqrt{y}=-5;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}\log_{\frac{1}{3}}(x)-3\log_{\frac{1}{3}}(y)=1,\\2\log_{\frac{1}{3}}(x)+5\log_{\frac{1}{3}}(y)=-9.\end{cases}$$
а) Обозначим $$u=\sqrt[4]{x}, \quad v=\sqrt[3]{y}.$$ Тогда система примет вид
$$\begin{cases} 6u-4v=6,\\ 3v-4u=-3. \end{cases}$$
Умножим второе уравнение на $$2$$:
$$\begin{cases} 6u-4v=6,\\ 6v-8u=-6. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$-2u+2v=0 \quad \Rightarrow \quad v=u.$$
Подставим в первое уравнение:
$$6u-4u=6 \quad \Rightarrow \quad 2u=6 \quad \Rightarrow \quad u=3.$$
Тогда $$v=3$$, значит
$$x=u^4=3^4=81, \quad y=v^3=3^3=27.$$
б) Обозначим $$u=\log_5 x, \quad v=\lg y.$$ Тогда
$$\begin{cases} u+v=5,\\ 3u-5v=17. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$5$$:
$$\begin{cases} 5u+5v=25,\\ 3u-5v=17. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$8u=42 \quad \Rightarrow \quad u=\frac{21}{4}.$$
Тогда
$$v=5-\frac{21}{4}=-\frac14.$$
Возвращаемся к переменным:
$$\log_5 x=\frac{21}{4} \Rightarrow x=5^{21/4}=3125\sqrt[4]{5},$$
$$\lg y=-\frac14 \Rightarrow y=10^{-1/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{10}}.$$
в) Обозначим $$u=\sqrt{x}, \quad v=\sqrt{y}.$$ Тогда
$$\begin{cases} 5u+2v=9,\\ 3u-4v=-5. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$\begin{cases} 10u+4v=18,\\ 3u-4v=-5. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$13u=13 \quad \Rightarrow \quad u=1.$$
Тогда
$$5+2v=9 \quad \Rightarrow \quad 2v=4 \quad \Rightarrow \quad v=2.$$
Следовательно,
$$x=u^2=1, \quad y=v^2=4.$$
г) Обозначим $$u=\log_{1/3} x, \quad v=\log_{1/3} y.$$ Тогда
$$\begin{cases} u-3v=1,\\ 2u+5v=-9. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$5$$, второе на $$3$$:
$$\begin{cases} 5u-15v=5,\\ 6u+15v=-27. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$11u=-22 \quad \Rightarrow \quad u=-2.$$
Тогда
$$-2-3v=1 \quad \Rightarrow \quad -3v=3 \quad \Rightarrow \quad v=-1.$$
Возвращаемся к переменным:
$$\log_{1/3} x=-2 \Rightarrow x=\left(\frac13\right)^{-2}=9,$$
$$\log_{1/3} y=-1 \Rightarrow y=\left(\frac13\right)^{-1}=3.$$
Ответ
а) $$(81; 27)$$; б) $$\left(3125\sqrt[4]{5}; \frac{1}{\sqrt[4]{10}}\right)$$; в) $$(1; 4)$$; г) $$(9; 3)$$.
