Упр.35.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) log_(x-5)(x-2)=log_(x-5)(3x-10);
б) log_(3x-1)((x-2)/(x-1))=log_(3x-1)((2x+1)/(5x-1));
в) log_(2x-3)(4x-1)=log_(2x-3)(2x+3);
г) log_(x-3)((3x-2)/(x+2))=log_(x-3)((5x+1)/(x+9)).

Подробный ответ

а) Если основания логарифмов равны, то при допустимых значениях аргументы равны:
$$x-2=3x-10$$
$$2x=8,\quad x=4.$$
Проверим область определения:
$$x-5>0,\quad x\ne 6,$$
$$x-2>0,\quad 3x-10>0.$$
При $$x=4$$ имеем $$x-5=-1<0$$, значит это значение не подходит.
Корней нет.
б) При равных основаниях логарифмов получаем:
$$\frac{x-2}{x-1}=\frac{2x+1}{5x-1}.$$
Перемножим крест-накрест:
$$ (x-2)(5x-1)=(2x+1)(x-1). $$
$$5x^2-11x+2=2x^2-x-1,$$
$$3x^2-10x+3=0.$$
$$D=100-36=64,$$
$$x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6},\quad x_1=\frac13,\quad x_2=3.$$
Проверим ОДЗ:
$$3x-1>0,\quad 3x-1\ne 1,$$
$$\frac{x-2}{x-1}>0,\quad \frac{2x+1}{5x-1}>0.$$
Подходит только $$x=3$$.
в) Имеем:
$$4x-1=2x+3,$$
$$2x=4,\quad x=2.$$
Проверим ОДЗ:
$$2x-3>0,\quad 2x-3\ne 1,$$
$$4x-1>0,\quad 2x+3>0.$$
При $$x=2$$ основание логарифма равно $$1$$, поэтому это значение не подходит.
Корней нет.
г) При равных основаниях логарифмов:
$$\frac{3x-2}{x+2}=\frac{5x+1}{x+9}.$$
Перемножим:
$$ (3x-2)(x+9)=(5x+1)(x+2). $$
$$3x^2+25x-18=5x^2+11x+2,$$
$$2x^2-14x+20=0,$$
$$x^2-7x+10=0,$$
$$ (x-2)(x-5)=0,$$
$$x=2 \text{ или } x=5.$$
Проверим ОДЗ:
$$x-3>0,\quad x-3\ne 1,$$
$$\frac{3x-2}{x+2}>0,\quad \frac{5x+1}{x+9}>0.$$
Значение $$x=2$$ не подходит, а $$x=5$$ удовлетворяет всем условиям.