Упр.35.53 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: Решите уравнение |log(0,(3); 1 + sin 2x)| + |log(3; 1 — sin 2x)| = 1.

Пусть $$a=\sin 2x.$$ Тогда $$|a|\le 1,$$ а уравнение перепишется так:

$$\left|\log_{0,3}(1+a)\right|+\left|\log_3(1-a)\right|=1.$$

Так как $$\log_{0,3} t=-\log_3 t,$$ получаем

$$\left|-\log_3(1+a)\right|+\left|\log_3(1-a)\right|=1,$$

то есть

$$\left|\log_3(1+a)\right|+\left|\log_3(1-a)\right|=1.$$

Рассмотрим функцию

$$f(a)=\left|\log_3(1+a)\right|+\left|\log_3(1-a)\right|.$$

Она чётная, поэтому достаточно найти решения при $$0\le a\le 1.$$ В этом случае

$$\log_3(1+a)\ge 0,\qquad \log_3(1-a)\le 0,$$

и потому

$$\log_3(1+a)-\log_3(1-a)=1.$$

Тогда

$$\log_3\frac{1+a}{1-a}=1,$$

$$\frac{1+a}{1-a}=3,$$

$$1+a=3-3a,$$

$$4a=2,$$

$$a=\frac12.$$

С учётом чётности получаем

$$a=\pm \frac12,$$

то есть

$$\sin 2x=\pm \frac12.$$

Отсюда

$$2x=\frac{\pi}{6}+\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{5\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Делим на 2:

$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}\quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Это можно записать компактно как

$$x=\pm \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=\pm \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$