Упр.35.52 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: Решите уравнение (tg x)^(sin x) = (ctg x)^(cos x).

Перепишем правую часть через тангенс:

$$ (\tg x)^{\sin x}=(\ctg x)^{\cos x}=\left(\frac{1}{\tg x}\right)^{\cos x}. $$

Тогда

$$ (\tg x)^{\sin x+\cos x}=1. $$

Чтобы выражения были определены, нужно $$\tg x>0$$ и $$\ctg x>0$$, то есть $$\tg x>0$$.

Рассмотрим два случая.

1. $$\sin x+\cos x=0.$$

   Тогда

   $$ \tg x=-1, $$

   но это противоречит условию $$\tg x>0$$. Значит, этот случай не подходит.

2. $$\tg x=1.$$

   Тогда

   $$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}. $$

Проверка показывает, что эти значения удовлетворяют уравнению.

Ответ

$$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}. $$