Упр.35.52 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение $$(\operatorname{tg} x)^{\sin x}=(\operatorname{ctg} x)^{\cos x}$$.

Перепишем правую часть через тангенс:

$$(\tg x)^{\sin x}=(\ctg x)^{\cos x}=\left(\frac{1}{\tg x}\right)^{\cos x}.$$

Тогда

$$(\tg x)^{\sin x+\cos x}=1.$$

Чтобы выражения были определены, нужно $$\tg x>0$$ и $$\ctg x>0$$, то есть $$\tg x>0$$.

Рассмотрим два случая.

1. $$\sin x+\cos x=0.$$

   Тогда

   $$\tg x=-1,$$

   но это противоречит условию $$\tg x>0$$. Значит, этот случай не подходит.

2. $$\tg x=1.$$

   Тогда

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Проверка показывает, что эти значения удовлетворяют уравнению.

Ответ

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$