Упр.35.51 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 1/2 + 16^(sin x) = 6 / 16^(cos(x/2 + ?/4))^2;
б) lg(cos x) + log(0,1; sin 2x) = ln(7) / ln(10).

а) Преобразуем уравнение:

$$ \frac12+16^{\sin x}=\frac{6}{16^{\cos^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}} $$

Так как $$16=2^4,$$ получаем
$$ \frac12+2^{4\sin x}=\frac{6}{2^{4\cos^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}}. $$

Используем формулу

$$ \cos^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1+\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}{2} =\frac{1-\sin x}{2}. $$

Тогда

$$ 2^{4\cos^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}=2^{2-2\sin x}=4\cdot 2^{-2\sin x}. $$

Обозначим $$y=2^{2\sin x}.$$ Тогда $$2^{4\sin x}=y^2,$$ а уравнение принимает вид

$$ \frac12+y^2=\frac{6}{4\cdot 2^{-2\sin x}}=\frac{3}{2}y. $$

Получаем квадратное уравнение:

$$ 1+2y^2=3y $$
$$ 2y^2-3y+1=0 $$
$$ (2y-1)(y-1)=0. $$

Отсюда

$$ y=\frac12 \quad \text{или} \quad y=1. $$

1) Если $$2^{2\sin x}=\frac12=2^{-1},$$ то

$$ 2\sin x=-1,\qquad \sin x=-\frac12. $$
Значит,
$$ x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2) Если $$2^{2\sin x}=1,$$ то

$$ 2\sin x=0,\qquad \sin x=0, $$
откуда

$$ x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

б) Преобразуем логарифмы:

$$ \lg(\cos x)+\log_{0{,}1}(\sin 2x)=\frac{\ln 7}{\ln 10}. $$

Так как $$\log_{0{,}1} a=-\lg a,$$ а $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ то

$$ \lg(\cos x)-\lg(2\sin x\cos x)=\lg 7. $$

Объединяем логарифмы:

$$ \lg\frac{\cos x}{2\sin x\cos x}=\lg 7, $$
$$ \frac{1}{2\sin x}=7. $$

Следовательно,

$$ \sin x=\frac{1}{14}. $$

С учётом области определения нужно, чтобы $$\cos x>0$$ и $$\sin 2x>0,$$ что выполняется для найденных решений.

Тогда

$$ x=\arcsin\frac{1}{14}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$x=\pi n,\; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\arcsin\frac{1}{14}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$