Упр.35.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$2^x\cdot 3^{\frac{1+x}{x}}=18$$; в) $$3^x\cdot 5^{\frac{2}{x}}=75$$; б) $$3^{x-1}\cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}}=225$$; г) $$5^{x-3}\cdot 64^{\frac{x-4}{x-3}}=5$$.

1. а) $$2^x\cdot 3^{\frac{1+x}{x}}=18$$

   Представим $$18$$ как $$2\cdot 3^2$$:

   $$2^x\cdot 3^{\frac{1+x}{x}}=2\cdot 3^2$$

   Тогда

   $$x=1,\qquad \frac{1+x}{x}=2$$

   $$1+x=2x,\qquad x=1$$

2. б) $$3^{x-1}\cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}}=225$$

   Представим числа в виде степеней:

   $$625=5^4,\qquad 225=3^2\cdot 5^2$$

   Тогда

   $$3^{x-1}\cdot 5^{\frac{4(x-2)}{x-1}}=3^2\cdot 5^2$$

   Получаем систему:

   $$x-1=2,\qquad \frac{4(x-2)}{x-1}=2$$

   Из первого уравнения $$x=3$$. Проверка во втором:

   $$\frac{4(3-2)}{3-1}=2$$

3. в) $$3^x\cdot 5^{\frac{2}{x}}=75$$

   Представим $$75$$ как $$3\cdot 5^2$$:

   $$3^x\cdot 5^{\frac{2}{x}}=3\cdot 5^2$$

   Тогда

   $$x=1,\qquad \frac{2}{x}=2$$

   $$2=2x,\qquad x=1$$

4. г) $$5^{x-3}\cdot 64^{\frac{x-4}{x-3}}=5$$

   Представим $$5$$ как $$5\cdot 64^0$$:

   $$5^{x-3}\cdot 64^{\frac{x-4}{x-3}}=5\cdot 64^0$$

   Тогда

   $$x-3=1,\qquad \frac{x-4}{x-3}=0$$

   Из первого уравнения $$x=4$$. Проверка во втором:

   $$\frac{4-4}{4-3}=0$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$3$$; в) $$1$$; г) $$4$$.