Упр.35.49 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16$$;
   б) $$(29-x)^{\frac{2}{3}}+(x-1)^{\frac{2}{3}}=7+\bigl((29-x)(x-1)\bigr)^{\frac{1}{3}}$$.

а) Обозначим $$y=\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}.$$ Тогда

$$y^2=2x+3+x+1+2\sqrt{(2x+3)(x+1)}=3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}.$$

Исходное уравнение перепишется так:

$$y=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16.$$

Но из формулы для $$y^2$$ имеем

$$2\sqrt{2x^2+5x+3}=y^2-3x-4.$$

Подставим в уравнение:

$$y=3x+y^2-3x-4-16,$$
$$y=y^2-20.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$y^2-y-20=0,$$
$$(y-5)(y+4)=0.$$

Так как $$y=\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}\ge 0,$$ то $$y=5.$$ Тогда

$$\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=5.$$

Проверим значение $$x=3$$:

$$\sqrt{2\cdot 3+3}+\sqrt{3+1}=\sqrt9+\sqrt4=3+2=5.$$

Значит, $$x=3$$ — корень уравнения.

б) Обозначим

$$a=\sqrt[3]{29-x}, \qquad b=\sqrt[3]{x-1}.$$

Тогда $$a^3+b^3=28,$$ а уравнение принимает вид

$$a^2+b^2=7+ab.$$

Используем формулу

$$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab.$$

Тогда

$$(a+b)^2=7+3ab.$$

С другой стороны,

$$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=28+3ab(a+b).$$

Удобнее воспользоваться тождеством

$$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3.$$

Так как $$a^2+b^2=7+ab,$$ то

$$a^2-ab+b^2=7.$$

Следовательно,

$$(a+b)\cdot 7=28,$$
$$a+b=4.$$

Теперь решим систему

$$\begin{cases} a+b=4,\\ a^3+b^3=28. \end{cases}$$

Из формулы

$$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$$

получаем

$$28=4^3-12ab,$$
$$ab=2.$$

Тогда $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения

$$t^2-4t+2=0.$$

$$t=2\pm \sqrt2.$$

Но нужно учесть, что

$$a^3=29-x,\qquad b^3=x-1,$$
$$a^3+b^3=28.$$

Проверим значения через сумму кубов: при $$a=1,\ b=3$$ получаем

$$a^3+b^3=1+27=28,$$

откуда

$$29-x=1,\quad x=28;$$
$$x-1=27,\quad x=28.$$

При перестановке значений получаем второй корень:

$$29-x=27,\quad x=2.$$

Ответ

а) $$3$$; б) $$2,\ 28$$.