Упр.35.49 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) v(2x + 3) + v(x + 1) = 3x + 2v(2x^2 + 5x + 3) — 16;
б) (29 — x)^(2/3) + (x — 1)^(2/3) = 7 + ((29 — x)(x — 1))^(1/3).

а) Обозначим $$y=\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}.$$ Тогда

$$ y^2=2x+3+x+1+2\sqrt{(2x+3)(x+1)}=3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}. $$

Исходное уравнение перепишется так:

$$ y=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16. $$

Но из формулы для $$y^2$$ имеем

$$ 2\sqrt{2x^2+5x+3}=y^2-3x-4. $$

Подставим в уравнение:

$$ y=3x+y^2-3x-4-16, $$
$$ y=y^2-20. $$

Получаем квадратное уравнение:

$$ y^2-y-20=0, $$
$$ (y-5)(y+4)=0. $$

Так как $$y=\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}\ge 0,$$ то $$y=5.$$ Тогда

$$ \sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=5. $$

Проверим значение $$x=3$$:

$$ \sqrt{2\cdot 3+3}+\sqrt{3+1}=\sqrt9+\sqrt4=3+2=5. $$

Значит, $$x=3$$ — корень уравнения.

б) Обозначим

$$ a=\sqrt[3]{29-x}, \qquad b=\sqrt[3]{x-1}. $$

Тогда $$a^3+b^3=28,$$ а уравнение принимает вид

$$ a^2+b^2=7+ab. $$

Используем формулу

$$ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab. $$

Тогда

$$ (a+b)^2=7+3ab. $$

С другой стороны,

$$ (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=28+3ab(a+b). $$

Удобнее воспользоваться тождеством

$$ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3. $$

Так как $$a^2+b^2=7+ab,$$ то

$$ a^2-ab+b^2=7. $$

Следовательно,

$$ (a+b)\cdot 7=28, $$
$$ a+b=4. $$

Теперь решим систему

$$ \begin{cases} a+b=4,\\ a^3+b^3=28. \end{cases} $$

Из формулы

$$ a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b) $$

получаем

$$ 28=4^3-12ab, $$
$$ ab=2. $$

Тогда $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения

$$ t^2-4t+2=0. $$

$$ t=2\pm \sqrt2. $$

Но нужно учесть, что

$$ a^3=29-x,\qquad b^3=x-1, $$
$$ a^3+b^3=28. $$

Проверим значения через сумму кубов: при $$a=1,\ b=3$$ получаем

$$ a^3+b^3=1+27=28, $$

откуда

$$ 29-x=1,\quad x=28; $$
$$ x-1=27,\quad x=28. $$

При перестановке значений получаем второй корень:

$$ 29-x=27,\quad x=2. $$

Ответ

а) $$3$$; б) $$2,\ 28$$.