Упр.35.48 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение $$\operatorname{tg}\left(\frac{?}{x^2+4x+7}\right)=\frac{v3}{\sin\left(?+\frac{?x}{4}\right)}$$.

Рассмотрим уравнение

$$\tg \frac{\pi}{x^2+4x+7}=\frac{\sqrt3}{\sin\left(\pi+\frac{\pi x}{4}\right)}.$$

Обозначим левую и правую части:

$$f(x)=\tg \frac{\pi}{x^2+4x+7}, \qquad g(x)=\frac{\sqrt3}{\sin\left(\pi+\frac{\pi x}{4}\right)}.$$

Найдём возможные значения каждой части.

Для левой части:

$$x^2+4x+7=(x+2)^2+3 \ge 3,$$

значит

$$0<\frac{\pi}{x^2+4x+7}\le \frac{\pi}{3}.$$

На промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{3}\right]$$ функция $$\tg t$$ возрастает, поэтому

$$0<f(x)\le \tg \frac{\pi}{3}=\sqrt3.$$

Равенство $$f(x)=\sqrt3$$ достигается при

$$\frac{\pi}{x^2+4x+7}=\frac{\pi}{3},$$

откуда

$$x^2+4x+7=3,$$

$$x^2+4x+4=0,$$

$$x=-2.$$

Для правой части:

$$\sin\left(\pi+\frac{\pi x}{4}\right)\in[-1;1],$$

поэтому

$$g(x)\le -\sqrt3 \quad \text{или} \quad g(x)\ge \sqrt3.$$

Чтобы правая часть была равна $$\sqrt3$$, нужно

$$\sin\left(\pi+\frac{\pi x}{4}\right)=1.$$

Тогда

$$\pi+\frac{\pi x}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi k,$$

$$\frac{x}{4}=-\frac12+2k,$$

$$x=-2+8k,\quad k\in\mathbb Z.$$

С учётом левой части значение $$\sqrt3$$ достигается только при $$x=-2$$. Проверим:

$$\tg \frac{\pi}{(-2)^2+4(-2)+7}=\tg \frac{\pi}{3}=\sqrt3,$$

$$\frac{\sqrt3}{\sin\left(\pi+\frac{\pi(-2)}{4}\right)}=\frac{\sqrt3}{\sin\frac{\pi}{2}}=\sqrt3.$$

Следовательно, $$x=-2$$ — решение уравнения.

Ответ

$$x=-2$$