Упр.35.47 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: Решите уравнение cos(2x) + cos(8x/5) = 2.

Так как для любого $$t$$ выполняется $$\cos t \le 1$$, то

$$\cos 2x+\cos \frac{8x}{5}\le 2.$$

Чтобы сумма была равна $$2$$, нужно, чтобы оба слагаемых одновременно были равны $$1$$:

$$\cos 2x=1,\qquad \cos \frac{8x}{5}=1.$$

Решаем первое уравнение:

$$\cos 2x=1 \Rightarrow 2x=2\pi k,\quad k\in \mathbb Z,$$

откуда

$$x=\pi k.$$

Решаем второе уравнение:

$$\cos \frac{8x}{5}=1 \Rightarrow \frac{8x}{5}=2\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac{5\pi n}{4}.$$

Найдём общие значения. Из равенства

$$\pi k=\frac{5\pi n}{4}$$

получаем

$$4k=5n.$$

Значит, $$k$$ кратно $$5$$, то есть $$k=5m$$, $$m\in \mathbb Z$$. Тогда

$$x=\pi k=5\pi m.$$

Ответ

$$x=5\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$