Упр.35.46 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: Решите уравнение 3x^4 — 16x^3 + 18x^2 + 36 = v(72 + 6x — x^2).

Подробный ответ

Рассмотрим функции

$$f(x)=3x^4-16x^3+18x^2+36,$$

$$g(x)=\sqrt{72+6x-x^2}.$$

Найдём наибольшее значение правой части. Для этого преобразуем подкоренное выражение:

$$72+6x-x^2=81-(x-3)^2.$$

Тогда

$$g(x)=\sqrt{81-(x-3)^2}\le \sqrt{81}=9,$$

и равенство достигается при $$x=3.$$

Теперь исследуем левую часть:

$$f'(x)=12x^3-48x^2+36x=12x(x^2-4x+3)=12x(x-1)(x-3).$$

Значит, критические точки: $$x=0,\;x=1,\;x=3.$$

Проверим значение функции в точке $$x=3$$:

$$f(3)=3\cdot 3^4-16\cdot 3^3+18\cdot 3^2+36=243-432+162+36=9.$$

Кроме того, при $$x=0$$:

$$f(0)=36>9.$$

Следовательно, равенство $$f(x)=g(x)$$ возможно только при $$x=3,$$ так как правая часть не превосходит $$9,$$ а левая принимает значение $$9$$ именно в этой точке.

Проверка:

$$3\cdot 3^4-16\cdot 3^3+18\cdot 3^2+36=9,$$

$$\sqrt{72+6\cdot 3-3^2}=\sqrt{81}=9.$$