Упр.35.45 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: Решите уравнение log(x^2 — 4x + 6; 3) + log(3; x^2 — 4x + 6) = 6x — x^2 — 7.

Обозначим

$$y=x^2-4x+6=(x-2)^2+2.$$

Тогда $$y>1$$, и уравнение принимает вид

$$\log_y 3+\log_3 y=6x-x^2-7.$$

Положим $$t=\log_3 y.$$ Тогда $$\log_y 3=\dfrac{1}{t}$$, и левая часть равна

$$t+\frac{1}{t}.$$

Так как $$y=(x-2)^2+2\ge 2,$$ то $$t=\log_3 y\ge \log_3 2>0.$$ Следовательно,

$$t+\frac{1}{t}\ge 2.$$

Правая часть:

$$6x-x^2-7=2-(x-3)^2\le 2.$$

Значит, левая часть не меньше $$2$$, а правая не больше $$2$$. Равенство возможно только при

$$t+\frac{1}{t}=2 \quad \text{и} \quad 2-(x-3)^2=2.$$

Из $$t+\frac{1}{t}=2$$ получаем $$t=1,$$ то есть

$$\log_3 y=1 \Rightarrow y=3.$$

Тогда

$$x^2-4x+6=3,$$

$$x^2-4x+3=0,$$

$$ (x-1)(x-3)=0,$$

откуда $$x=1$$ или $$x=3.$$

Проверим условие $$2-(x-3)^2=2$$: оно выполняется только при $$x=3.$$

При $$x=3$$ имеем

$$\log_3 3+\log_3 3=1+1=2,$$

$$6\cdot 3-3^2-7=18-9-7=2.$$

Равенство верно.

Ответ

$$x=3$$