Упр.35.44 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение $$x^2\log_{36}(5x^2-2x-3)-x\log_{\frac{1}{6}}\left(\sqrt{5x^2-2x-3}\right)=x^2+x$$.

Пусть

$$t=5x^2-2x-3.$$

Тогда уравнение можно переписать так:

$$x^2\log_3 t-x\log_{\frac16}\sqrt{t}=x^2+x.$$

Так как $$\log_{\frac16}\sqrt{t}=\frac12\log_{\frac16}t=-\frac12\log_6 t,$$ а $$\log_3 t=\frac{\log_6 t}{\log_6 3}=\frac{\log_6 t}{1/2}=2\log_6 t,$$ получаем

$$x^2\log_3 t-x\log_{\frac16}\sqrt{t}=2x^2\log_6 t+\frac{x}{2}\log_6 t.$$

После приведения к общему виду:

$$\log_6 t\cdot x(x+1)=2x(x+1).$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$x(x+1)\bigl(\log_6 t-2\bigr)=0.$$

Отсюда возможны три случая.

1. $$x(x+1)=0,$$

   тогда $$x=0$$ или $$x=-1.$$

2. $$\log_6 t-2=0,$$

   то есть

   $$\log_6(5x^2-2x-3)=2,$$

   $$5x^2-2x-3=36,$$

   $$5x^2-2x-39=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=(-2)^2-4\cdot 5\cdot(-39)=4+780=784,$$

   $$x=\frac{2\pm 28}{10}.$$

   Получаем

   $$x=-\frac{13}{5} \quad \text{или} \quad x=3.$$

Проверим область определения:

$$5x^2-2x-3>0.$$

Для найденных значений:

$$x=0:\; -3<0,$$

$$x=-1:\; 5+2-3=4>0,$$

$$x=-\frac{13}{5}:\; 5\cdot\frac{169}{25}+\frac{26}{5}-3=36>0,$$

$$x=3:\; 45-6-3=36>0.$$

Значение $$x=0$$ не подходит, так как нарушает ОДЗ.

Ответ

$$-\frac{13}{5},\,-1,\,3$$