Упр.35.43 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Решите уравнение $$\log(2;x)^2+(x-1)\log(2;x)=6-2x.$$

Обозначим $$a=\log_2 x,$$ тогда $$x>0.$$ Уравнение примет вид

$$a^2+(x-1)a=6-2x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$a^2+(x-1)a+2x-6=0.$$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$a$$:

$$a^2+(x-1)a+2x-6=0.$$

Его дискриминант

$$D=(x-1)^2-4(2x-6)=x^2-10x+25=(x-5)^2.$$

Тогда

$$a_{1,2}=\frac{-(x-1)\pm(x-5)}{2}.$$

Получаем два случая:

$$a_1=2-x,\qquad a_2=-2.$$

1) Если $$\log_2 x=2-x,$$ то

$$\log_2 x=2-\log_2 x-1,$$

$$2\log_2 x=3-x.$$

Проверка даёт решение $$x=2.$$

2) Если $$\log_2 x=-2,$$ то

$$x=2^{-2}=\frac14=0{,}25.$$

Оба значения удовлетворяют уравнению.

Ответ

$$0{,}25;\ 2.$$