Упр.35.42 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$x \cdot 2^x = x(3 — x) + 2(2^x — 1)$$; б) $$8 — x \cdot 2^x + 2^{3-x} — x = 0$$.

1. а) Преобразуем уравнение:

   $$x\cdot 2^x=x(3-x)+2(2^x-1)$$

   $$x\cdot 2^x=3x-x^2+2\cdot 2^x-2$$

   $$x\cdot 2^x-2\cdot 2^x=3x-x^2-2$$

   $$2^x(x-2)=-(x^2-3x+2)$$

   $$2^x(x-2)=-(x-1)(x-2)$$

   $$2^x(x-2)=(1-x)(x-2)$$

   $$(x-2)\bigl(2^x+x-1\bigr)=0$$

   Отсюда:

   $$x-2=0 \Rightarrow x=2,$$

   или

   $$2^x+x-1=0.$$

   Проверим целые значения: при $$x=0$$ получаем $$2^0+0-1=0,$$ значит $$x=0$$ — корень.

   Других корней нет, так как функция $$2^x+x-1$$ строго возрастает.

2. б) Преобразуем уравнение:

   $$8-x\cdot 2^x+2^{3-x}-x=0$$

   $$8-x\cdot 2^x+\frac{8}{2^x}-x=0$$

   Умножим на $$2^x$$:

   $$8\cdot 2^x-x\cdot 2^{2x}+8-x\cdot 2^x=0$$

   $$8(2^x+1)-x\cdot 2^x(2^x+1)=0$$

   $$(2^x+1)(8-x\cdot 2^x)=0$$

   Так как $$2^x+1>0$$ при любом $$x$$, то

   $$8-x\cdot 2^x=0,$$

   $$x\cdot 2^x=8.$$

   Проверяем: при $$x=2$$ имеем $$2\cdot 2^2=8.$$

Ответ

а) $$0; 2$$

б) $$2$$