Упр.35.41 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) v(2x + 3) + (2x + 2)^(1/3) = 1 + v(19 — x);
б) (x — 1)^(1/4) + 2(3x + 2)^(1/3) = 4 + v(3 — x).

а) Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt{2x+3}+\sqrt[3]{2x+2}, \qquad g(x)=1+\sqrt{19-x}.$$

Функция $$f(x)$$ возрастает, так как оба слагаемых возрастают на своей области определения. Функция $$g(x)$$ убывает, так как $$\sqrt{19-x}$$ убывает.

Значит, уравнение $$f(x)=g(x)$$ может иметь не более одного корня.

Проверим значение $$x=3$$:

$$\sqrt{2\cdot 3+3}+\sqrt[3]{2\cdot 3+2}=\sqrt{9}+\sqrt[3]{8}=3+2=5,$$

$$1+\sqrt{19-3}=1+\sqrt{16}=1+4=5.$$

Следовательно, $$x=3$$ — корень уравнения, и он единственный.

б) Рассмотрим функции

$$f(x)=\sqrt[4]{x-1}+2\sqrt[3]{3x+2}, \qquad g(x)=4+\sqrt{3-x}.$$

Функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает на области определения уравнения. Поэтому уравнение может иметь не более одного корня.

Проверим значение $$x=2$$:

$$\sqrt[4]{2-1}+2\sqrt[3]{3\cdot 2+2}=\sqrt[4]{1}+2\sqrt[3]{8}=1+2\cdot 2=5,$$

$$4+\sqrt{3-2}=4+\sqrt{1}=4+1=5.$$

Следовательно, $$x=2$$ — корень уравнения, и он единственный.

Ответ

а) $$x=3$$; б) $$x=2$$.