Упр.35.40 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$6^{1+x}+5^{1+2x}=30+150^x$$;
   б) $$2vx\cdot4^x+5\cdot2^{x+1}+2vx=2^{2x+2}+5vx\cdot2^x+4$$.

а) Преобразуем уравнение:

$$6^{1+x}+5^{1+2x}=30+150^x$$
$$6\cdot 6^x+5\cdot 5^{2x}=30+6^x\cdot 25^x$$
$$6\cdot 6^x+5\cdot 5^{2x}=6\cdot 5^{2x}+5\cdot 6^x$$
$$6\cdot 6^x-5\cdot 6^x=6\cdot 5^{2x}-5\cdot 5^{2x}$$
$$6^x-5^{2x}=0$$
$$6^x=5^{2x}$$
$$\left(\frac{6}{25}\right)^x=1$$

Отсюда получаем два случая:

$$6^x=5 \quad \Rightarrow \quad x=\log_6 5,$$
$$5^{2x}=6 \quad \Rightarrow \quad 25^x=6 \quad \Rightarrow \quad x=\log_{25}6.$$

Значит,

$$x=\log_{25}6 \quad \text{или} \quad x=\log_6 5.$$

б) Перепишем уравнение, используя степени двойки:

$$2\sqrt{x}\cdot 4^x+5\cdot 2^{x+1}+2\sqrt{x}=2^{2x+2}+5\sqrt{x}\cdot 2^x+4.$$

Так как $$4^x=2^{2x}$$, а $$2^{x+1}=2\cdot 2^x$$, получаем:

$$2\sqrt{x}\cdot 2^{2x}+10\cdot 2^x+2\sqrt{x}=4\cdot 2^{2x}+5\sqrt{x}\cdot 2^x+4.$$

Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем:

$$2\sqrt{x}\cdot 2^{2x}-5\sqrt{x}\cdot 2^x+10\cdot 2^x-4\cdot 2^{2x}+2\sqrt{x}-4=0.$$

Вынесем общий множитель:

$$\sqrt{x}\,(2\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^x+2)-2\,(2\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^x+2)=0,$$
$$\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^x+2\right)=0.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Тогда:

$$\sqrt{x}-2=0 \Rightarrow x=4.$$

Решим второе уравнение. Обозначим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и

$$2t^2-5t+2=0.$$

$$D=25-16=9,$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$

$$t_1=\frac12,\quad t_2=2.$$

Следовательно,

$$2^x=\frac12 \Rightarrow x=-1,$$
$$2^x=2 \Rightarrow x=1.$$

С учётом условия $$x\ge 0$$ значение $$x=-1$$ не подходит. Остаются решения $$x=1$$ и $$x=4$$.

Ответ

а) $$x=\log_{25}6,\ \log_6 5$$;
б) $$x=1,\ 4$$.