Упр.35.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 3^(x^2+3)-27^(x+1)=0; в) 125^(5-x^2)-5^(x^2-1)=0;
б) (v7)^tg(x)=7v7/7^tg(x); г) (v3)^(2cos(x))=1/(3·3^cos(x)).

1. а) $$3^{x^2+3}-27^{x+1}=0$$

   Представим $$27$$ как $$3^3$$:

   $$3^{x^2+3}-3^{3(x+1)}=0$$

   $$3^{x^2+3}=3^{3x+3}$$

   Так как основания равны и больше $$0$$, приравниваем показатели:

   $$x^2+3=3x+3$$

   $$x^2-3x=0$$

   $$x(x-3)=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=3$$

2. б) $$\left(\sqrt{7}\right)^{\tg x}=\dfrac{7\sqrt{7}}{7^{\tg x}}$$

   Запишем всё через основание $$7$$:

   $$\left(7^{1/2}\right)^{\tg x}=7^{1+\frac12-\tg x}$$

   $$7^{\frac12 \tg x}=7^{\frac32-\tg x}$$

   Приравниваем показатели:

   $$\frac12 \tg x=\frac32-\tg x$$

   $$\frac32 \tg x=\frac32$$

   $$\tg x=1$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3. в) $$125^{5-x^2}-5^{x^2-1}=0$$

   Представим $$125$$ как $$5^3$$:

   $$5^{3(5-x^2)}-5^{x^2-1}=0$$

   $$5^{15-3x^2}=5^{x^2-1}$$

   Приравниваем показатели:

   $$15-3x^2=x^2-1$$

   $$4x^2=16$$

   $$x^2=4$$

   $$x=\pm 2$$

4. г) $$\left(\sqrt{3}\right)^{2\cos x}=\dfrac{1}{3\cdot 3^{\cos x}}$$

   Запишем левую и правую части через основание $$3$$:

   $$\left(3^{1/2}\right)^{2\cos x}=3^{-1-\cos x}$$

   $$3^{\cos x}=3^{\cos x}$$

   Тогда:

   $$3^{\cos x}=3^{-1-\cos x}$$

   Приравниваем показатели:

   $$\cos x=-1-\cos x$$

   $$2\cos x=-1$$

   $$\cos x=-\frac12$$

   $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$0; 3$$

б) $$\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

в) $$-2; 2$$

г) $$\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$