Упр.35.39 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) sin^2 x + sin^2 2x + cos^2 3x + cos^2 4x = 2;
б) 3sin^3 x + 4sin^2 x cos x — sin x cos^2 x = 2sin x + 3cos x;
в) 5sin x + 12cos x + 13sin 3x = 0;
г) sin 2x + 2sin x + 2cos x = 2.

1. а) Преобразуем квадраты тригонометрических функций по формулам $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}$$ и $$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}$$:

   $$ \frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 6x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}=2 $$
   $$ 4-\cos 2x-\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x=4 $$
   $$ -2\cos 3x\cos x+2\cos 7x\cos x=0 $$
   $$ 2\cos x(\cos 7x-\cos 3x)=0 $$
   $$ -4\cos x\sin 5x\sin 2x=0 $$

   Отсюда:

   $$ \sin 5x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{5}, $$
   $$ \sin 2x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{2}, $$
   $$ \cos x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n, $$
   где $$n\in\mathbb Z$$.

2. б) Введём замену $$t=\tan x$$. Тогда

   $$ 3\sin^3 x+4\sin^2 x\cos x-\sin x\cos^2 x=2\sin x+3\cos x $$
   $$ 3t^3+4t^2-t=2t+3 $$
   $$ 3t^3+4t^2-3t-3=0 $$
   $$ t^2(t+1)-3(t+1)=0 $$
   $$ (t+1)(t^2-3)=0 $$
   $$ (t+1)(t-\sqrt3)(t+\sqrt3)=0. $$

   Следовательно,

   $$ \tan x=-1,\quad \tan x=\sqrt3,\quad \tan x=-\sqrt3. $$

   Отсюда

   $$ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi n, $$
   где $$n\in\mathbb Z$$.

3. в) Представим выражение в виде суммы синусов:

   $$ 5\sin x+12\cos x+13\sin 3x=0 $$
   $$ \frac{5}{13}\sin x+\frac{12}{13}\cos x+\sin 3x=0. $$

   Пусть $$\alpha=\arccos\frac{5}{13}$$. Тогда $$\sin\alpha=\frac{12}{13}$$, и

   $$ \sin(x+\alpha)+\sin 3x=0 $$
   $$ 2\sin\left(2x+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(x-\frac{\alpha}{2}\right)=0. $$

   Отсюда:

   $$ \sin\left(2x+\frac{\alpha}{2}\right)=0 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{\alpha}{4}+\frac{\pi n}{2}, $$
   $$ \cos\left(x-\frac{\alpha}{2}\right)=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{2}+\pi n, $$
   где $$n\in\mathbb Z$$.

   Так как $$\alpha=\arccos\frac{5}{13}$$, получаем

   $$ x=-\frac14\arccos\frac{5}{13}+\frac{\pi n}{2},\quad x=\frac12\arccos\frac{5}{13}+\frac{\pi}{2}+\pi n. $$

4. г) Используем замену $$y=\sin x+\cos x$$. Тогда

   $$ \sin 2x+2\sin x+2\cos x=2 $$
   $$ 2\sin x\cos x+2(\sin x+\cos x)=2 $$
   $$ \sin x\cos x+\sin x+\cos x-1=0. $$

   Так как

   $$ y^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x, $$
   то
   $$ \sin x\cos x=\frac{y^2-1}{2}. $$

   Подставим:

   $$ \frac{y^2-1}{2}+y-1=0 $$
   $$ y^2+2y-3=0 $$
   $$ (y+3)(y-1)=0. $$

   Получаем:

   $$ y=-3 \quad \text{или} \quad y=1. $$

   Значение $$y=-3$$ невозможно, так как $$\sin x+\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2]$$.

   Остаётся $$\sin x+\cos x=1$$, то есть

   $$ \sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1 $$
   $$ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}. $$

   Тогда

   $$ x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n, $$
   откуда
   $$ x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, $$
   где $$n\in\mathbb Z$$.

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{5},\ \frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \frac{\pi}{3}+\pi n,\ -\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=-\frac14\arccos\frac{5}{13}+\frac{\pi n}{2},\ \frac12\arccos\frac{5}{13}+\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.