Упр.35.38 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$\cos(8x)-\cos(2x)+\cos(10x)-\cos(4x)=0$$; б) $$\sin(6x)-\sin(2x)+\cos(10x)-\cos(6x)=0$$; в) $$\sin(6x)+\sin(2x)+\sin(12x)-\sin(4x)=0$$; г) $$\sin(20x)+\sin(12x)+\cos(12x)+\cos(4x)=0$$.

а)

$$\cos 8x-\cos 2x+\cos 10x-\cos 4x=0$$
$$2\cos 5x\cos 3x-2\cos x\cos 3x=0$$
$$2\cos 3x(\cos 5x-\cos x)=0$$
$$2\cos 3x\cdot(-2\sin 3x\sin 2x)=0$$
$$-4\cos 3x\sin 3x\sin 2x=0$$

Отсюда:

$$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}, \quad x=\frac{\pi n}{3}, \quad x=\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$\sin 6x-\sin 2x+\cos 10x-\cos 6x=0$$
$$2\sin 2x\cos 4x-2\sin 8x\sin 2x=0$$
$$2\sin 2x(\cos 4x-\sin 8x)=0$$
$$2\sin 2x(\cos 4x-2\sin 4x\cos 4x)=0$$
$$2\sin 2x\cos 4x(1-2\sin 4x)=0$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \sin 4x=\frac12.$$

$$x=\frac{\pi n}{2}, \quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}, \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4}, \quad n\in\mathbb Z.$$

в)

$$\sin 6x+\sin 2x+\sin 12x-\sin 4x=0$$
$$2\sin 9x\cos 3x-2\sin x\cos 3x=0$$
$$2\cos 3x(\sin 9x-\sin x)=0$$
$$4\cos 3x\cos 5x\sin 4x=0$$

Отсюда:

$$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 5x=0.$$

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}, \quad x=\frac{\pi n}{4}, \quad x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}, \quad n\in\mathbb Z.$$

г)

$$\sin 20x+\sin 12x+\cos 12x+\cos 4x=0$$
$$2\sin 16x\cos 4x+2\cos 8x\cos 4x=0$$
$$2\cos 4x(\sin 16x+\cos 8x)=0$$
$$2\cos 4x(2\sin 8x\cos 8x+\cos 8x)=0$$
$$2\cos 4x\cos 8x(2\sin 8x+1)=0$$

Отсюда:

$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 8x=0 \quad \text{или} \quad \sin 8x=-\frac12.$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}, \quad x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8}, \quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{48}+\frac{\pi n}{8}, \quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi n}{3},\ \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ (-1)^n\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ \frac{\pi n}{4},\ \frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ \frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8},\ (-1)^{n+1}\frac{\pi}{48}+\frac{\pi n}{8},\ n\in\mathbb Z.$$