Упр.35.36 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) sin(2x)=cos(x); в) 2sin(2x)=sin(4x);
б) sin(6x)=cos^2(2?-3x); г) 2sin^2(x/2+3?)-v3sin(x)=0.

1. а)

   $$\sin 2x=\cos x$$
   $$2\sin x\cos x-\cos x=0$$
   $$\cos x(2\sin x-1)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

   $$2\sin x-1=0 \Rightarrow \sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$

2. б)

   $$\sin 6x=\cos^2(2\pi-3x)$$
   $$2\sin 3x\cos 3x=\cos^2 3x$$
   $$\cos 3x(2\sin 3x-\cos 3x)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$

   $$2\sin 3x-\cos 3x=0 \Rightarrow 2\tan 3x=1 \Rightarrow \tan 3x=\frac12$$
   $$3x=\arctan\frac12+\pi n \Rightarrow x=\frac13\arctan\frac12+\frac{\pi n}{3}$$

3. в)

   $$2\sin 2x=\sin 4x$$
   $$2\sin 2x=2\sin 2x\cos 2x$$
   $$2\sin 2x(\cos 2x-1)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$$

   $$\cos 2x-1=0 \Rightarrow \cos 2x=1 \Rightarrow 2x=2\pi n \Rightarrow x=\pi n$$

   Так как $$x=\pi n$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{2}$$, то общее решение:

   $$x=\frac{\pi n}{2}$$

4. г)

   $$2\sin^2\left(\frac{x}{2}+3\pi\right)-\sqrt3\sin x=0$$
   $$2\sin^2\frac{x}{2}-2\sqrt3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=0$$
   $$2\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}-\sqrt3\cos\frac{x}{2}\right)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n$$

   $$\sin\frac{x}{2}-\sqrt3\cos\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \tan\frac{x}{2}=\sqrt3$$
   $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{3}+\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$;
б) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; x=\frac13\arctan\frac12+\frac{\pi n}{3}$$;
в) $$x=\frac{\pi n}{2}$$;
г) $$x=2\pi n,\; x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.