Упр.35.34 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение методом разложения на множители:
   а) $$2x^5-11x^3+5x=0$$;
   б) $$-1+5x^{0,75}+5x^{0,5}-x^{0,25}=0$$;
   в) $$3(x^7)^{1/3}-23(x^4)^{1/3}+14x^{1/3}=0$$;
   г) $$2x^3+3x^{2,25}-2x^{1,5}-3x^{0,75}=0$$.

1. а) $$2\sqrt{x^5}-11\sqrt{x^3}+5\sqrt{x}=0.$$

   Вынесем общий множитель $$\sqrt{x}$$:

   $$\sqrt{x}\,(2x^2-11x+5)=0.$$

   Тогда

   $$\sqrt{x}=0 \quad \text{или} \quad 2x^2-11x+5=0.$$

   Из первого уравнения получаем $$x=0$$.

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=11^2-4\cdot 2\cdot 5=121-40=81,$$

   $$x_{1,2}=\frac{11\pm 9}{4}.$$

   Отсюда $$x_1=\frac12,\; x_2=5.$$

2. б) $$-1+5x^{0,75}+5x^{0,5}-x^{0,25}=0.$$

   Сгруппируем слагаемые:

   $$5x^{0,5}(x^{0,25}+1)-(x^{0,25}+1)=0.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\bigl(5x^{0,5}-1\bigr)\bigl(x^{0,25}+1\bigr)=0.$$

   Так как $$x^{0,25}+1>0$$ при всех допустимых $$x$$, то

   $$5x^{0,5}-1=0.$$

   Тогда

   $$5\sqrt{x}=1,\qquad \sqrt{x}=\frac15,\qquad x=\frac1{25}.$$

3. в) $$3\sqrt[3]{x^7}-23\sqrt[3]{x^4}+14\sqrt[3]{x}=0.$$

   Вынесем общий множитель $$\sqrt[3]{x}$$:

   $$\sqrt[3]{x}\,(3x^2-23x+14)=0.$$

   Тогда

   $$\sqrt[3]{x}=0 \quad \text{или} \quad 3x^2-23x+14=0.$$

   Из первого уравнения получаем $$x=0$$.

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=23^2-4\cdot 3\cdot 14=529-168=361,$$

   $$x_{1,2}=\frac{23\pm 19}{6}.$$

   Отсюда $$x_1=\frac23,\; x_2=7.$$

4. г) $$2x^3+3x^{2,25}-2x^{1,5}-3x^{0,75}=0.$$

   Сгруппируем слагаемые:

   $$2x^{1,5}(x^{1,5}-1)+3x^{0,75}(x^{1,5}-1)=0.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\bigl(2x^{1,5}+3x^{0,75}\bigr)\bigl(x^{1,5}-1\bigr)=0.$$

   Далее:

   $$x^{0,75}\bigl(2x^{0,75}+3\bigr)\bigl(x^{1,5}-1\bigr)=0.$$

   Так как $$2x^{0,75}+3>0$$ при всех допустимых $$x$$, то

   $$x^{0,75}=0 \quad \text{или} \quad x^{1,5}-1=0.$$

   Отсюда

   $$x=0 \quad \text{или} \quad x^{1,5}=1.$$

   Так как $$x^{1,5}=x^{3/2}$$, то при допустимых $$x\ge 0$$ получаем $$x=1$$.

Ответ

а) $$0;\ \frac12;\ 5$$; б) $$\frac1{25}$$; в) $$0;\ \frac23;\ 7$$; г) $$0;\ 1$$.