Упр.35.32 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите уравнение методом введения новой переменной:
а) $$\sin(x)\cos(x)-6\sin(x)+6\cos(x)+6=0$$;
б) $$5\sin(2x)-11\sin(x)=11\cos(x)-7$$.
а) Введём новую переменную $$y=\cos x-\sin x.$$ Тогда
$$y^2=\cos^2 x-2\sin x\cos x+\sin^2 x=1-2\sin x\cos x,$$
откуда
$$\sin x\cos x=\frac{1-y^2}{2}.$$
Подставим в уравнение:
$$\frac{1-y^2}{2}-6\sin x+6\cos x+6=0.$$
Так как $$\cos x-\sin x=y,$$ то $$-6\sin x+6\cos x=6y.$$ Получаем
$$\frac{1-y^2}{2}+6y+6=0,$$
$$1-y^2+12y+12=0,$$
$$y^2-12y-13=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=12^2+4\cdot 13=196,$$
$$y_{1,2}=\frac{12\pm 14}{2}.$$
Тогда
$$y_1=-1,\qquad y_2=13.$$
Если $$\cos x-\sin x=-1,$$ то
$$\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Отсюда
$$x+\frac{\pi}{4}=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$
$$x=-\pi+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
Если $$\cos x-\sin x=13,$$ то это невозможно, так как
$$|\cos x-\sin x|\le \sqrt{2}.$$
б) Преобразуем уравнение:
$$5\sin 2x-11\sin x=11\cos x-7,$$
$$10\sin x\cos x-11\sin x-11\cos x+7=0.$$
Введём новую переменную $$y=\sin x+\cos x.$$ Тогда
$$y^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x,$$
откуда
$$\sin x\cos x=\frac{y^2-1}{2}.$$
Подставим:
$$10\cdot \frac{y^2-1}{2}-11y+7=0,$$
$$5y^2-11y+2=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=11^2-4\cdot 5\cdot 2=81,$$
$$y_{1,2}=\frac{11\pm 9}{10}.$$
Получаем
$$y_1=\frac{1}{5},\qquad y_2=2.$$
Если $$\sin x+\cos x=\frac{1}{5},$$ то
$$\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{5},$$
$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{10}.$$
Следовательно,
$$x-\frac{\pi}{4}=\pm \arccos\frac{\sqrt{2}}{10}+2\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos\frac{\sqrt{2}}{10}+2\pi n.$$
Если $$\sin x+\cos x=2,$$ то это невозможно, так как
$$|\sin x+\cos x|\le \sqrt{2}.$$
Ответ
а) $$x=-\pi+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$
б) $$x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos\frac{\sqrt{2}}{10}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$
