Упр.35.30 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 4sin^2(x)+7=16sin(x); в) 2cos^2(x)-7cos(x)-4=0;
б) 7-9cos(2x)=42cos(x); г) 9cos(2x)+15sin(x)=17.

1. $$4\sin^2 x+7=16\sin x$$

   Пусть $$y=\sin x$$, тогда

   $$ 4y^2+7=16y $$
   $$ 4y^2-16y+7=0 $$

   $$ D=16^2-4\cdot 4\cdot 7=256-112=144 $$
   $$ y_{1,2}=\frac{16\pm 12}{2\cdot 4} $$
   $$ y_1=\frac12,\quad y_2=\frac72 $$

   Так как $$\sin x\le 1$$, значение $$\sin x=\frac72$$ не подходит.

   $$ \sin x=\frac12 $$
   $$ x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

2. $$7-9\cos 2x=42\cos x$$

   Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$. Пусть $$y=\cos x$$, тогда

   $$ 7-9(2y^2-1)=42y $$
   $$ 7-18y^2+9=42y $$
   $$ 18y^2+42y-16=0 $$
   $$ 9y^2+21y-8=0 $$

   $$ D=21^2-4\cdot 9\cdot(-8)=441+288=729 $$
   $$ y_{1,2}=\frac{-21\pm 27}{2\cdot 9} $$
   $$ y_1=\frac13,\quad y_2=-\frac{16}{9} $$

   Так как $$\cos x\in[-1;1]$$, значение $$\cos x=-\frac{16}{9}$$ не подходит.

   $$ \cos x=\frac13 $$
   $$ x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

3. $$2\cos^2 x-7\cos x-4=0$$

   Пусть $$y=\cos x$$, тогда

   $$ 2y^2-7y-4=0 $$
   $$ D=7^2+4\cdot 2\cdot 4=49+32=81 $$
   $$ y_{1,2}=\frac{7\pm 9}{2\cdot 2} $$
   $$ y_1=-\frac12,\quad y_2=4 $$

   Так как $$\cos x\in[-1;1]$$, значение $$\cos x=4$$ не подходит.

   $$ \cos x=-\frac12 $$
   $$ x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

4. $$9\cos 2x+15\sin x=17$$

   Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$. Пусть $$y=\sin x$$, тогда

   $$ 9(1-2y^2)+15y=17 $$
   $$ 9-18y^2+15y=17 $$
   $$ 18y^2-15y+8=0 $$

   $$ D=(-15)^2-4\cdot 18\cdot 8=225-576=-351 $$

   Дискриминант отрицателен, значит действительных корней нет.

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) корней нет.