Упр.35.30 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение методом введения новой переменной: а) $$4\sin^2(x)+7=16\sin(x)$$; в) $$2\cos^2(x)-7\cos(x)-4=0$$; б) $$7-9\cos(2x)=42\cos(x)$$; г) $$9\cos(2x)+15\sin(x)=17$$.

1. $$4\sin^2 x+7=16\sin x$$

   Пусть $$y=\sin x$$, тогда

   $$4y^2+7=16y$$
   $$4y^2-16y+7=0$$

   $$D=16^2-4\cdot 4\cdot 7=256-112=144$$
   $$y_{1,2}=\frac{16\pm 12}{2\cdot 4}$$
   $$y_1=\frac12,\quad y_2=\frac72$$

   Так как $$\sin x\le 1$$, значение $$\sin x=\frac72$$ не подходит.

   $$\sin x=\frac12$$
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$7-9\cos 2x=42\cos x$$

   Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$. Пусть $$y=\cos x$$, тогда

   $$7-9(2y^2-1)=42y$$
   $$7-18y^2+9=42y$$
   $$18y^2+42y-16=0$$
   $$9y^2+21y-8=0$$

   $$D=21^2-4\cdot 9\cdot(-8)=441+288=729$$
   $$y_{1,2}=\frac{-21\pm 27}{2\cdot 9}$$
   $$y_1=\frac13,\quad y_2=-\frac{16}{9}$$

   Так как $$\cos x\in[-1;1]$$, значение $$\cos x=-\frac{16}{9}$$ не подходит.

   $$\cos x=\frac13$$
   $$x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3. $$2\cos^2 x-7\cos x-4=0$$

   Пусть $$y=\cos x$$, тогда

   $$2y^2-7y-4=0$$
   $$D=7^2+4\cdot 2\cdot 4=49+32=81$$
   $$y_{1,2}=\frac{7\pm 9}{2\cdot 2}$$
   $$y_1=-\frac12,\quad y_2=4$$

   Так как $$\cos x\in[-1;1]$$, значение $$\cos x=4$$ не подходит.

   $$\cos x=-\frac12$$
   $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4. $$9\cos 2x+15\sin x=17$$

   Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$. Пусть $$y=\sin x$$, тогда

   $$9(1-2y^2)+15y=17$$
   $$9-18y^2+15y=17$$
   $$18y^2-15y+8=0$$

   $$D=(-15)^2-4\cdot 18\cdot 8=225-576=-351$$

   Дискриминант отрицателен, значит действительных корней нет.

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) корней нет.