Упр.35.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Решите уравнение:
а) $$\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=\sqrt{2}$$;
б) $$\sqrt{7x+5}+\sqrt{2x-13}=\sqrt{9x-8}$$;
в) $$\sqrt{x+3}-\sqrt{x-3}=\sqrt{6}$$;
г) $$\sqrt{8x-11}+\sqrt{2-x}=\sqrt{7x-9}$$.

Подробный ответ

а)

$$\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=\sqrt2$$
Возведём в квадрат:
$$x+2+2\sqrt{(x+2)(x-2)}+x-2=2$$
$$2\sqrt{x^2-4}=2-2x$$
$$\sqrt{x^2-4}=1-x$$
Снова возведём в квадрат:
$$x^2-4=(1-x)^2$$
$$x^2-4=1-2x+x^2$$
$$2x=5,\quad x=2{,}5$$
Проверим область допустимых значений:
$$x+2\ge 0,\quad x-2\ge 0,\quad 1-x\ge 0$$
Отсюда
$$x\ge 2,\quad x\le 1$$
Совместных значений нет, значит, решений нет.

б)

$$\sqrt{7x+5}+\sqrt{2x-13}=\sqrt{9x-8}$$
Возведём в квадрат:
$$7x+5+2\sqrt{(7x+5)(2x-13)}+2x-13=9x-8$$
$$2\sqrt{(7x+5)(2x-13)}=0$$
$$(7x+5)(2x-13)=0$$
$$x_1=-\frac57,\quad x_2=\frac{13}{2}=6{,}5$$
Проверим ОДЗ:
$$7x+5\ge 0,\quad 2x-13\ge 0,\quad 9x-8\ge 0$$
Отсюда
$$x\ge -\frac57,\quad x\ge \frac{13}{2},\quad x\ge \frac89$$
Подходит только
$$x=6{,}5$$

в)

$$\sqrt{x+3}-\sqrt{x-3}=\sqrt6$$
Возведём в квадрат:
$$x+3-2\sqrt{(x+3)(x-3)}+x-3=6$$
$$2\sqrt{x^2-9}=2x-6$$
$$\sqrt{x^2-9}=x-3$$
Снова возведём в квадрат:
$$x^2-9=(x-3)^2$$
$$x^2-9=x^2-6x+9$$
$$6x=18,\quad x=3$$
Проверка ОДЗ:
$$x+3\ge 0,\quad x-3\ge 0$$
Значит,
$$x\ge 3$$
Число $$3$$ подходит.

г)

$$\sqrt{8x-11}+\sqrt{2-x}=\sqrt{7x-9}$$
Возведём в квадрат:
$$8x-11+2\sqrt{(8x-11)(2-x)}+2-x=7x-9$$
$$2\sqrt{(8x-11)(2-x)}=0$$
$$(8x-11)(2-x)=0$$
$$x_1=\frac{11}{8}=1\frac38,\quad x_2=2$$
Проверим ОДЗ:
$$8x-11\ge 0,\quad 2-x\ge 0,\quad 7x-9\ge 0$$
Отсюда
$$x\ge \frac{11}{8},\quad x\le 2,\quad x\ge \frac97$$
Оба значения подходят.