Упр.35.29 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Решите уравнение методом введения новой переменной:
а) $$\left(\log_3 x\right)^2+6=5\log_3 x$$;
в) $$\left(\log_5 x\right)^2+8=6\log_5 x$$;
б) $$\lg^2\left(x^2\right)+\lg(10x)=6$$;
г) $$\lg^2\left(x^3\right)+\lg(100x)=12$$.
а) Пусть $$y=\log_3 x$$, тогда получаем:
$$y^2+6=5y$$
$$y^2-5y+6=0$$
$$D=25-24=1$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}$$
$$y_1=2,\quad y_2=3$$
Тогда:
$$\log_3 x=2 \Rightarrow x=3^2=9$$
$$\log_3 x=3 \Rightarrow x=3^3=27$$
б) Используем свойство $$\lg(x^2)=2\lg x$$ и $$\lg(10x)=1+\lg x$$:
$$\lg^2(x^2)+\lg(10x)=6$$
$$4\lg^2 x+\lg x+1=6$$
$$4\lg^2 x+\lg x-5=0$$
Пусть $$y=\lg x$$, тогда:
$$4y^2+y-5=0$$
$$D=1+80=81$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{8}$$
$$y_1=-\frac{5}{4},\quad y_2=1$$
Тогда:
$$\lg x=-\frac{5}{4} \Rightarrow x=10^{-\frac{5}{4}}$$
$$\lg x=1 \Rightarrow x=10$$
в) Пусть $$y=\log_5 x$$, тогда:
$$y^2+8=6y$$
$$y^2-6y+8=0$$
$$D=36-32=4$$
$$y_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}$$
$$y_1=2,\quad y_2=4$$
Тогда:
$$\log_5 x=2 \Rightarrow x=5^2=25$$
$$\log_5 x=4 \Rightarrow x=5^4=625$$
г) Используем свойства логарифмов:
$$\lg(x^3)=3\lg x,\quad \lg(100x)=2+\lg x$$
Тогда:
$$\lg^2(x^3)+\lg(100x)=12$$
$$9\lg^2 x+2+\lg x=12$$
$$9\lg^2 x+\lg x-10=0$$
Пусть $$y=\lg x$$, тогда:
$$9y^2+y-10=0$$
$$D=1+360=361$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 19}{18}$$
$$y_1=-\frac{10}{9},\quad y_2=1$$
Тогда:
$$\lg x=-\frac{10}{9} \Rightarrow x=10^{-\frac{10}{9}}$$
$$\lg x=1 \Rightarrow x=10$$
Ответ
а) $$9; 27$$; б) $$10^{-\frac{5}{4}}; 10$$; в) $$25; 625$$; г) $$10^{-\frac{10}{9}}; 10$$.
